forum.zadania.info

1. Ciąg \((a_n)\) jest skończony. Zbadaj montoniczność tego ciągu, jeśli:
\(a_n=\)(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5), gdzie \(n \in {1,2,3,4,5}\)

2. Zbadaj monotonicznośc nieskończonego ciągu, jeśli
\(a_n=n \cdot 2^n\)

assa pisze:1. Ciąg \((a_n)\) jest skończony. Zbadaj montoniczność tego ciągu, jeśli:
\(a_n=\)(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5), gdzie \(n \in {1,2,3,4,5}\)

\(a_1=0\\
a_2=0\\
a_3=0\\
a_4=0\\
a_5=0\\\)
ciąg jest stały

assa pisze: 2. Zbadaj monotonicznośc nieskończonego ciągu, jeśli
\(a_n=n \cdot 2^n\)

\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)2^{n+1}}{n\cdot 2^n}=\frac{2(n+1)}{n}=2+\frac{2}{n}>1\)
ciąg jest rosnący

a dlaczego w tym drugim dzielimy? I dlaczego większe jest od 1, a nie od 0?

monotoniczność możemy określić na dwa sposoby:
a) przez różnicę
\(a_{n+1}-a_n<0\) 0 ciąg malejący
\(a_{n+1}+a_n>0\) - ciąg rosnący

b) przez iloczyn
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\) - ciąg malejący
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\) - ciąg rosnący

jeśli jednak wolisz różnicą:

\(a_{n+1}-a_n=(n+1)\cdot 2^{n+1}-n\cdot 2^n=2(n+1)\cdot 2^n-n\cdot 2^n=2^n(2n+2-n)=2^n(n+2)>0\)
ciąg jest rosnący

Jeśli chcesz sprawdzić,która liczba dodatnia jest większa,to czasem prościej wywnioskować z ich dzielenia.
\(x=y\;\;\;\;\;to\;\;\;\; \frac{x}{y}=1\\natomiast\\x>y\;\;\;\;\;\;to\;\;\;\; \frac{x}{y}>1\\jeśli\\x<y\;\;\;\;to\;\;\; \frac{x}{y}<1\)
Możesz też zastosować odejmowanie:
\(a_{n+1}-a_n=(n+1)2^{n+1}-n2^n=(n+1) \cdot 2^n \cdot 2-n \cdot 2^n=\\=n \cdot 2^n \cdot 2+2^n \cdot 2-n \cdot 2^n= (n+2) \cdot 2^n>0\)
W przypadku silni i postaci wykładniczych dzielenie jest łatwiejsze...