równanie zespolone

[HunterXL]

\(z^4-30z^2+289=0\)

[Giovanna93]

Podstaw za \(z^2=t\)

\(t^2-30t+289=0\)

z tego liczysz deltę i możliwe rozwiązania, potem podstawiasz za t=z^2
Poprawne są tylko rozwiązania gdzie \(t \ge 0\)

[radagast]

podstawmy \(z^2=t\)
mamy wtedy równanie: \(t^2-30t+289=0\)
i to sobie rozwiążemy jak zwykłe równanie kwadratowe w ciele liczb zespolonych (...)
wyjdzie \(t_1=15-8i,\ \ t_2=15+8i\)
wracając z tym do zmiennej \(z\) mamy
\(z_1= \sqrt{15-8i},\ \ z_2=- \sqrt{15-8i},\ \ z_3= \sqrt{15+8i},\ \ z_4=- \sqrt{15+8i}\)

[Panko]

\(z^4 -30z^2+289=0\) , uzupełniam do pełnego kwadratu
\(z^4- 30z^2+225+64=0\)
\((z^2-15)^2 +64=0\)
\((z^2-15)^2- (8i)^2=0\)
\((z^2-15-8i)(z^2-15+8i)=0\)
\(z^2=8i+15\) \(\vee\) \(z^2=15-8i\)

teraz myk : uzupełniam do kwadratu pamiętając , \(i^2=-1\) liczbę \(8i+15=2 \cdot 4i+15= 2 \cdot 4i+16-1= 16+2 \cdot 4i+i^2=(i+4)^2\) stąd
\(z^2=8i_+15\)
\(z^2=(i+4)^2\)
\(z-(i+4)=0\) \(\vee\) \(z+(i+4)=0\)
\(z=i+4\) \(\vee\) \(z=-i-4\)

podobnie z : \(15-8i=16-2 \cdot 4i -1=16-2 \cdot 4i+i^2=(4-i)^2\)
dalej uzupełnisz .....