Równania kwadratowe z parametrem

[Patrycja_59]

1) Dla jakich wartości parametru \(p\) równanie \(x^2 + 5px + 20p - 8 = 0\) ma różne rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) takie, że \(x_1^2 + x_2^2 = 400\)?

2) Dla jakich wartości parametru \(p\) równanie \(x^2 + 2(p - 1)x + p^2 - 4 = 0\) ma dwa różne rozwiązania, których suma kwadratów jest mniejsza od 12?

3) Dla jakich wartości parametru \(m\) suma różnych rozwiązań równania \(x^2 - 2m(x - 1) - 1 = 0\) jest równa sumie kwadratów tych rozwiązań?

4) Dla jakich wartości parametru \(m\) odwrotność sumy różnych rozwiązań równania \(2x + m(1 - x^2) = 2 + 2x^2\) jest dodatnia?

5) Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których różne rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) równania \(x^2 + (k + 2)x + 4 = 0\) spełniają warunek \(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = k\).

[patryk00714]

1) \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{b^2}{a^2}-2\frac{c}{a}\)

\(\Delta=25p^2-80p+32>0\)

\(\Delta_p=6400-3200=3200\)

\(\sqrt{\Delta_p}=40\sqrt{2}\)

\(p_1=\frac{80-40\sqrt{2}}{50}=\frac{8}{5}-\frac{4}{5}\sqrt{2} \;\;\;\ p_2=\frac{8}{5}+\frac{4}{5}\sqrt{2}\)

stąd \(p \in (-\infty,\frac{8}{5}-\frac{4}{5}\sqrt{2}) \cup (\frac{8}{5}+\frac{4}{5}\sqrt{2},+\infty) \;\;\ (*)\)


drugi warunek

\(25p^2-40p+16=400\)

\(25p^2-40p-384=0\)

\(\Delta'_p=1600+38400=40000\)

\(\sqrt{\Delta'}=200\)

\(p_1=-\frac{16}{5} \;\;\ p_2=\frac{24}{5}\)

zarówno \(p_1\) jak i \(p_2\) mieszcza się w \((*)\)

[patryk00714]

2) \(\Delta=4(p-1)^2-4p^2+16=4p^2-8p+4-4p^2+16=20-8p>0\)

\(p<\frac{5}{2}\)

\(x_1^2+x_2^2=4p^2-8p+4-2p^2+8=2p^2-8p+12<12\)

\(2p(p-4)<0\)

\(p \in (0,4)\)

ale biąrąc pod uwagę warunek z delty mamy \(p \in (0,\frac{5}{2})\)

[patryk00714]

3) \(x^2+2mx+2m-1=0\)

\(\Delta=4m^2+4-8m=4m^2-8m+4=(2m+2)^2>0\)

\(m \in \rr \bez \left\{-1 \right\}\)


\(x_1+x_2=x_1^2+x_2^2\)

\(-\frac{b}{a}=\frac{b^2}{a^2}-2\frac{c}{a}\)

\(-2m=4m^2-4m+2\)

\(4m^2-2m+2=0\)

\(\Delta_m<0\) stąd nie ma takiego \(m\)

[octahedron]

\(4)\,2x+m(1-x^2)=2+2x^2\\
(m+2)x^2-2x+2-m=0\\
{\large\frac{1}{x_1+x_2}}={\large\frac{1}{2}}>0\Rightarrow m\in R\\
\Delta=4-4(2-m)(m+2)=4m^2-12>0\Rightarrow \boxed{m\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty)}\\\)

[octahedron]

\(5)\,x^2 + (k + 2)x + 4 = 0\\
\Delta=(k+2)^2-16=(k+6)(k-2)>0\Rightarrow k\in(-\infty,-6)\cup(2,\infty)\\
{\large\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(k+2)^2-8}{16}}=k\\
k^2-12k-4=0\\
k=6\pm 2\sqrt{10}\\
\boxed{k=6+2\sqrt{10}}\)