forum.zadania.info

Witam, mam problem z taką całką, ciągle wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedziach.

\(\int \frac{sinxcosxdx}{\sqrt (3(sinx)^{2}-7(cosx)^{2})\)

Jesteś pewny tego rozwiązania? Mnie tez tak wychodziło, ale w odpowiedziach mam inaczej a wolfram też jeszcze jakieś inne dziwadło pokazuje.

Inaczej, czyli jak?

jestem pewien, możesz dostać też wynik taki, który jest równoważny: \(\frac{\sqrt{3sin^2x-7cos^2x}}{10}+C\)

Zamiast tego dzielenia przez dziesięć w wyniku, w odpowiedziach mam mnożenie przez -1/4. I w wolframie też przed całoscią wyniku jest minus, stąd moje wątpliwosci.

Ok, to policzmy pochodną mojego wyniku:

\(\left( \frac{\sqrt{10sin^2x-7}}{10} \right)'= \frac{1}{10} \left( \sqrt{10sin^2x-7\right)'= \frac{20sinxcosx}{20\sqrt{10sin^2x-7}}= \frac{sinxcosx}{\sqrt{10sin^2x-7}}= \frac{sinxcosx}{\sqrt{3sin^2x-7cos^2x}}\)

czyli jest ok.

Racja. Dzięki za pomoc.

Zadanie takie jest w kursie eTrapez. Mi wyszło podobnie jak Wam:

\(\int_{}^{} \frac{sin x\ cos x} { \sqrt{3 sin^2 x - 7 cos^2 x } } =
\begin{vmatrix}
t = {3 sin^2 x - 7 cos^2 x}\\
dt = ({3 sin^2 x - 7 cos^2 x})' \ dx\\
dt = 20\ sin x\ cos x\ dx\\
dx = \frac {dt} { 20\ sin x \cos x}
\end{vmatrix}
= \int_{}^{} {\frac{sin x\ cos x}{ \sqrt{t} } \cdot \frac{dt}{20\ sin x\ cos x}}
= \frac{1}{20} \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{t} } dt = \\
= \frac{1}{20} \int_{}^{} t^{- \frac{1}{2}} dt
= \frac{1}{10} \sqrt{t}\ + C
= \frac{1}{10} \sqrt{3 sin^2 x - 7 cos^2 x}\ + C\)

W odpowiedziach jest :
\(-\frac{1}{4} \sqrt{3 sin^2 x - 7 cos^2 x}\ + C\)

Tak jakby autor pomylił się w obliczaniu pochodnej przy podstawianiu. Czy mam rację?
Mój wynik potwierdza kalkulator na stronie http://www.integral-calculator.com/


Pozdrawiam.