całka rozszerzanie

[marcin2447]

Czy mozna taką całke rozwiać takim sposobem podstawiając \(t^2=1+cosx\)
\(\int_{}^{} \frac{dx}{sinx \sqrt{1+cosx} } = \int_{}^{} \frac{sinxdx}{sin^2x \sqrt{1+cosx} }\)
bo np. w całce \(\int_{}^{} \frac{dx}{sinx}\) nie można rozpisywać \(\int_{}^{} \frac {sinxdx}{sin^2x}\) czego nie rozumiem proszę o wytłumaczenie

[radagast]

bo np. w całce \(\int_{}^{} \frac{dx}{sinx}\) nie można rozpisywać \(\int_{}^{} \frac {sinxdx}{sin^2x}\) czego nie rozumiem proszę o wytłumaczenie

Można ! Tylko po co ?

[marcin2447]

żeby ją rozwiązać \(\int_{}^{} \frac{sinxdx}{sin^2x} =\int_{}^{} \frac{sinxdx}{1-cos^2x}\) i podstawianie \(t=cosx\) \(dt=-sinxdx\). Właściwie nie rozumie dlaczego takie liczenie całki jest błedne.

[alexx17]

\(t = \cos x \ \ \Rightarrow \ \ dx = \frac{dt}{-\sin x} \\ \int \frac{dt}{t^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\int\frac{dt}{t-1} - \int \frac{dt}{t+1}\right) = \frac{1}{2} \ln\| \frac{t - 1}{t + 1}\|= \frac{1}{2} \ln\| \frac{\cos x - 1}{\cos x + 1}\|\)

Co tu Ci się nie podoba?

[marcin2447]

a dlaczego tak niemożna \(-\int_{}^{} \frac {dx}{1-t^2}\)

[alexx17]

Po pierwsze to zapis jest be, bo całkujesz po x a masz zmienną t. Po drugie, co rozumiesz przez zapis nie można? Wyżej po prostu wyłączyłem minusa z mianownika, żeby skrócić go z tym od sinusa..