planimetria
: 27 wrz 2008, 12:56
Zdaję sobie sprawę ze zadań jest dużo, będę wdzięczna jak by one pojawiły się na forum za mięsiąc
Bardzo dziękuję za pomoc
Pozdrawiam
Równoległoboki
Stosunek długości przekątnych rombu o boku 17 cm jest równy 5 : 3. Oblicz pole rombu.
Kąt ostry między przekątnymi równoległoboku KLMN ma miarę 60°. Przekątna KM ma długość 6, a przekątna LN jest prostopadła do boku KN. Oblicz długości boków równoległoboku.
W równoległoboku, w którym boki mają długości 1 i 3, symetralna krótszego boku przechodzi przez wierzchołek równoległoboku. Znajdź długości przekątnych tego równoległoboku.
Długości boków równoległoboku są równe 6 i 10, a jego pole wynosi 36. Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku.
Z przeciwległych wierzchołków prostokąta poprowadzono odcinki prostopadłe do przekątnej. Odcinki te dzielą przekątną na trzy części. Każda z nich jest odcinkiem o długości 4 cm. Oblicz pole tego prostokąta.
Kąt ostry równoległoboku ma miarę 45°. Punkt wspólny przekątnych równoległoboku jest oddalony od boków o 2 pierwiastki z 2 koniec pierwiastka i 2. a) Oblicz pole równoległoboku. b) Oblicz długości przekątnych równoległoboku.
Uzasadnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.
Oblicz długość bok rombu, wiedząc, że prosta poprowadzona przez jeden z wierzchołków rombu odcina na przedłużeniach dwóch jego boków odcinki o długościach 4 i 9.
Dłuższa przekątna równoległoboku o kącie ostrym 60° ma długość 3pierwiastki z 7. Różnica długości jego boków wynosi 3. Oblicz pole tego równoległoboku i długość krótszej przekątnej.
Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku o obwodzie równym 26. Wiedząc, że <ABC = 120° i promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD jest równy pierwiastek z 3, oblicz długości boków i pole tego równoległoboku.
Oblicz pole rombu ABCD, wiedząc, że długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ABC i ABD są odpowiednio równe RC i RD .
W kwadrat o boku a wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Oblicz sumę pól wszystkich tych kwadratów.
Wykaż, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.
Trapezy
Ramiona trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10. Odcinek łączący środki ramion ma długość 10. Oblicz długości podstaw trapezu.
Podstawy trapezu mają długości 4 i 8. Kąty, jakie tworzą ramiona z dłuższą podstawą, mają miary 30° i 45° Oblicz pole trapezu.
Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli trapez na dwa trójkąty, z których jeden jest równoboczny. Znajdź pole tego trapezu wiedząc, że ramię prostopadłe do podstaw ma długość 2.
Podstawy trapezu mają długość 6 i 2, a wysokość ma długość 4. Oblicz odległość punktu przecięcia przekątnych trapezu od jego podstaw.
Stosunek długości ramion trapezu opisanego na okręgu o promieniu 6 wynosi 3 : 4. Obwód trapezu jest równy 70. Oblicz długości podstaw trapezu.
Boki trapezu równoramiennego są w stosunku 17:13:7:13. Oblicz obwód trapezu wiedząc, że jego pole jest równe 36.
Na trapezie równoramiennym o podstawach 2 i 6 opisano okrąg. Oblicz pole trapezu, jeśli dłuższa podstawa jest średnicą tego okręgu.
W trapezie ABCD ramię AD i podstawa CD mają długość 4, a ramię BC i przekątna AC mają długość 6. Oblicz długość podstawy AB.
Przekątna trapezu równoramiennego dzieli jego kąt ostry na kąty o miarach a i B (a- kąt między przekątną i podstawą). Wyznacz stosunek pól trójkątów, na jakie przekątna ta podzieliła trapez.
Trapez równoramienny o podstawach długości a i b opisany jest na okręgu. Oblicz pole koła, którego brzegiem jest okrąg wpisany w ten trapez.
Kąty ostre trapezu mają miary a i B, a pole tego trapezu jest równe P. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez.
Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego najkrótszy bok ma długość 3/2r. Oblicz pole tego trapezu oraz stosunek długości jego przekątnych.
Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości 3 cm i 5 cm. Odcinek łączący środki ramion dzieli trapez na dwie figury, których stosunek pól wynosi 5:11. Oblicz długości podstaw trapezu.
W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, ramię ma długość 7 cm, a przekątna 8 cm. Oblicz długości podstaw trapezu wiedząc, że odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 4 cm.
Obwód trapezu równoramiennego wynosi 116 cm, a długość odcinka łączącego środki jego ramion jest równa 41 cm. Długość ramienia i długości podstaw tworzą (w podanej kolejności) rosnący ciąg arytmetyczny. Oblicz pole trapezu.
W trapezie ABCD boki nierównoległe AD i BC zawierają się w prostych prostopadłych. Oblicz pole trapezu, mając dane AD=a oraz <ABC = <DAC - a.
Wykaż, że jeśli przekątna trapezu równoramiennego zawiera się w dwusiecznej jego kąta ostrego, to ramię jest równe krótszej podstawie.
W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe 3pierwiastki z3.
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w trapez ABCD (AB rownoległe CD). Wykaż, że trójkąt SBC jest prostokątny.
Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległości 1 cm i 2 cm od końców ramienia pochyłego danego trapezu. Znaleźć pole trapezu.
Punkt styczności okręgu o promieniu r wpisanego w trapez równoramienny dzieli ramię trapezu w stosunku 1: 2. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie.
W trapezie równoramiennym przekątna ma długość d i tworzy z dłuższą podstawą kąt o mierze a. Oblicz
pole tego trapezu.
Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równy 16, a przekątna trapezu ma długość 5.
Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez i promienia okręgu opisanego na nim.
Oblicz długości boków trapezu równoramiennego opisanego na okręgu, znając obwód trapezu 2p i długość d jego przekątnej
W trapez równoramienny o obwodzie 20 i przekątnej długości pierwiastek z 41 można wpisać okrąg. Oblicz odległości punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od prostych zawierających jego boki.
Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu. Oblicz kosinus kąta ostrego trapezu wiedząc, że stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw jest równy 1,5.
Podstawy trapezu mają długości a i b (a > b). Suma miar kątów wewnętrznych przy dłuższej podstawie wynosi 90°. Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw.
Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wykaż, że:
a) pola tych trójkątów, w których jeden z boków jest ramieniem trapezu, są równe;
b) stosunek pól tych trójkątów, w których jeden z boków jest podstawą trapezu, jest równy stosunkowi kwadratów długości podstaw trapezu.
c) stosunek pól trójkątów takich, że bokiem jednego jest ramię trapezu, a bokiem drugiego jest podstawa trapezu, jest równy stosunkowi długości podstaw trapezu.
W trapez o polu 168 i ramionach długości 13 i 15 można wpisać okrąg. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.
Pole trapezu jest równe S, a stosunek długości jego podstaw wynosi k. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.
Pola trójkątów, których podstawami są podstawy trapezu, a wspólnym wierzchołkiem punkt przecięcia przekątnych trapezu, są równe S1 i S2. Oblicz pole trapezu.
Ramiona trapezu są średnicami dwóch okręgów. Wykaż, że jeśli okręgi te są styczne zewnętrznie, to w trapez ten można wpisać okrąg.
Udowodnij, że w trapezie, który ma dwa kąty ostre przy jednej z podstaw, suma kwadratów przekątnych równa jest sumie podwojonego iloczynu dwóch boków równoległych i kwadratów pozostałych boków.
Inne czworokąty
Dwusieczne kątów A i B trójkąta ABC przecinają okrąg opisany na nim odpowiednio w punktach K i L. Oblicz miary kątów czworokąta ABKL wiedząc, że |<A| = 60°i |<B| = 40°.
Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Uzasadnij, że środki tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, w który można wpisać okrąg.
Przedłużenia przeciwległych boków czworokąta wpisanego w okrąg tworzą kąty ostre o miarach 20° i 40° Oblicz miary kątów czworokąta.
Odcinki AK i EL są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC, a punkt S jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że:
a) na czworokącie ABCD można opisać okrąg;
b)okręgi opisane na trójkątach ABC i ABS mają promienie równej długości.
Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i C przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach B i D w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.
Dwusieczna kąta B trójkąta ABC przecina bok AC w punkcie S, a dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie T. Dwusieczne przecinają się w punkcie O. Znajdź miarę kąta A, jeżeli wiadomo, że na czworokącie ATOS można opisać okrąg.
Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.
W okrąg o promieniu 7 wpisano czworokąt ABCD. Oblicz obwód i pole tego czworokąta, wiedząc, że AB = BC, <ADC = 120° i stosunek pola trójkąta ABD do pola trójkąta BCD wynosi 2: 1.
W kole o środku O poprowadzono dwie prostopadłe średnice AB i CD oraz cięciwę AM przecinającą średnicę CD w punkcie K. Oblicz miarę kąta BAM wiedząc, że w czworokąt OBMK można wpisać okrąg.
Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E. Wiadomo, że trójkąty ABE i CDE mają równe pola, długość boku AB jest równa 4, a przekątna AC jest zawarta w dwusiecznej kąta A. Oblicz długość boku SC.
Okrąg i koło
W kole poprowadzono cięciwę i średnicę. Cięciwa dzieli średnicę na odcinki o długościach 2 oraz 10 i tworzy z nią kąt o mierze 30°. Oblicz odległość środka okręgu od cięciwy.
Z punktu A leżącego na okręgu poprowadzono średnicę AB i cięciwę AC, które tworzą kąt o mierze 20°. Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu przecinającą prostą AB w punkcie D. Oblicz miary pozostałych kątów trójkąta ACD.
Różnica promieni dwóch okręgów współśrodkowych jest równa 3. W okręgu o większym promieniu poprowadzono cięciwę styczną do drugiego okręgu. Cięciwa ta ma długość 10. Oblicz długość promieni tych okręgów.
W kole o środku S poprowadzono cięciwę, która nie jest średnicą. Punkt A dzieli tę cięciwę na dwa odcinki o długościach 11 i 29. Odcinek AS ma długość 15. Oblicz promień tego koła.
Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 9 cm . Oblicz pole koła opisanego na tym sześciokącie.
Podstawą trójkąta równobocznego jest średnica koła. Oblicz stosunek pola części trójkąta leżącej na zewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła.
Dany jest okrąg o1. Kreślimy cięciwę AB nieprzechodzącą przez środek okręgu o1, a następnie rysujemy okrąg o2 współśrodkowy z okręgiem o1 i styczny do cięciwy AB. Okręgi o1 i o2 ograniczają pierścień kołowy. Uzasadnij, że pole pierścienia kołowego nie zależy od długości promienia okręgu o1 (zależy tylko od długości cięciwy AB).
W kąt o mierze 60° wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie. Promień mniejszego okręgu ma długość 1. Oblicz długość promienia drugiego okręgu.
Promień okręgu wpisanego w wycinek koła o kącie środkowym 60° ma długość 2. Oblicz pole tego wycinka.
Odległość między środkami okręgów o promieniach 2 i 7 wynosi 13. Prosta k jest styczna do obu okręgów. Znajdź odległość między punktami styczności prostej k z tymi okręgami. Rozważ dwa przypadki.
W okrąg wpisano trójkąt ABC, w którym <A = 50° i <B = 70°. Przez wierzchołek kąta C poprowadzono styczną do okręgu, przecinającą przedłużenie boku AB w punkcie D. Oblicz miary kątów trójkąta BCD.
Dwa okręgi o środkach S1 i S2 przecinają się w punktach A i B, przy czym punkty S1 i S2 leżą po przeciwnych stronach prostej AB. Miary kątów AS1B i AS2B wynoszą odpowiednio 90° i 60°. Wyznacz długości promieni tych okręgów wiedząc, że |S1S2| = a.
W kwadrat ABCD o boku długości 2a wpisano okrąg. Oblicz długość cięciwy wyciętej przez ten okrąg z odcinka łączącego wierzchołek A ze środkiem boku CD.
Punkt P należy do okręgu opisanego na kwadracie ABCD. Wykaż, że wyrażenie PA2 + PB2 + PC2+ PD2 ma stałą wartość, niezależną od wyboru punktu P.
Trzy okręgi o promieniach 2, 4 i 6 są parami zewnętrznie styczne. Oblicz długość promienia okręgu zawierającego punkty styczności tych okręgów.
Ramiona kąta ostrego o mierze 2alfa przecięto prostą k prostopadłą do dwusiecznej kąta w odległości d od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu ramion kąta i prostej k. Oblicz odległości środków tych okręgów.
Ramiona kąta o mierze 60° przecięto prostą l prostopadłą do jednego z ramion kąta i wpisano dwa koła styczne do obu ramion tego kąta i do prostej l. Oblicz stosunek pól tych kół.
W kąt o mierze alfa wpisano ciąg kół w taki sposób, że pierwsze koło ma promień r i jest styczne do ramion kata, a każde następne koło ma mniejszy promień i jest styczne do poprzedniego koła oraz do ramion kąta. Oblicz sumę pól kół tego ciągu.
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie P. Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B (A różne od B). Wykaż, że kąt APB jest prosty.
W półkole o średnicy AB wpisano okrąg styczny do średnicy AB w jej środku. Znajdź promień okręgu stycznego jednocześnie do półokręgu AB, do wpisanego okręgu oraz do średnicy AB, jeśli AB = 2R.
Dwa okręgi o promieniach r i R (r<R) są styczne zewnętrznie. Prosta l nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej l. Rozważ dwa przypadki.
Bardzo dziękuję za pomoc
Pozdrawiam
Równoległoboki
Stosunek długości przekątnych rombu o boku 17 cm jest równy 5 : 3. Oblicz pole rombu.
Kąt ostry między przekątnymi równoległoboku KLMN ma miarę 60°. Przekątna KM ma długość 6, a przekątna LN jest prostopadła do boku KN. Oblicz długości boków równoległoboku.
W równoległoboku, w którym boki mają długości 1 i 3, symetralna krótszego boku przechodzi przez wierzchołek równoległoboku. Znajdź długości przekątnych tego równoległoboku.
Długości boków równoległoboku są równe 6 i 10, a jego pole wynosi 36. Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku.
Z przeciwległych wierzchołków prostokąta poprowadzono odcinki prostopadłe do przekątnej. Odcinki te dzielą przekątną na trzy części. Każda z nich jest odcinkiem o długości 4 cm. Oblicz pole tego prostokąta.
Kąt ostry równoległoboku ma miarę 45°. Punkt wspólny przekątnych równoległoboku jest oddalony od boków o 2 pierwiastki z 2 koniec pierwiastka i 2. a) Oblicz pole równoległoboku. b) Oblicz długości przekątnych równoległoboku.
Uzasadnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.
Oblicz długość bok rombu, wiedząc, że prosta poprowadzona przez jeden z wierzchołków rombu odcina na przedłużeniach dwóch jego boków odcinki o długościach 4 i 9.
Dłuższa przekątna równoległoboku o kącie ostrym 60° ma długość 3pierwiastki z 7. Różnica długości jego boków wynosi 3. Oblicz pole tego równoległoboku i długość krótszej przekątnej.
Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku o obwodzie równym 26. Wiedząc, że <ABC = 120° i promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD jest równy pierwiastek z 3, oblicz długości boków i pole tego równoległoboku.
Oblicz pole rombu ABCD, wiedząc, że długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ABC i ABD są odpowiednio równe RC i RD .
W kwadrat o boku a wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Oblicz sumę pól wszystkich tych kwadratów.
Wykaż, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.
Trapezy
Ramiona trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10. Odcinek łączący środki ramion ma długość 10. Oblicz długości podstaw trapezu.
Podstawy trapezu mają długości 4 i 8. Kąty, jakie tworzą ramiona z dłuższą podstawą, mają miary 30° i 45° Oblicz pole trapezu.
Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli trapez na dwa trójkąty, z których jeden jest równoboczny. Znajdź pole tego trapezu wiedząc, że ramię prostopadłe do podstaw ma długość 2.
Podstawy trapezu mają długość 6 i 2, a wysokość ma długość 4. Oblicz odległość punktu przecięcia przekątnych trapezu od jego podstaw.
Stosunek długości ramion trapezu opisanego na okręgu o promieniu 6 wynosi 3 : 4. Obwód trapezu jest równy 70. Oblicz długości podstaw trapezu.
Boki trapezu równoramiennego są w stosunku 17:13:7:13. Oblicz obwód trapezu wiedząc, że jego pole jest równe 36.
Na trapezie równoramiennym o podstawach 2 i 6 opisano okrąg. Oblicz pole trapezu, jeśli dłuższa podstawa jest średnicą tego okręgu.
W trapezie ABCD ramię AD i podstawa CD mają długość 4, a ramię BC i przekątna AC mają długość 6. Oblicz długość podstawy AB.
Przekątna trapezu równoramiennego dzieli jego kąt ostry na kąty o miarach a i B (a- kąt między przekątną i podstawą). Wyznacz stosunek pól trójkątów, na jakie przekątna ta podzieliła trapez.
Trapez równoramienny o podstawach długości a i b opisany jest na okręgu. Oblicz pole koła, którego brzegiem jest okrąg wpisany w ten trapez.
Kąty ostre trapezu mają miary a i B, a pole tego trapezu jest równe P. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez.
Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego najkrótszy bok ma długość 3/2r. Oblicz pole tego trapezu oraz stosunek długości jego przekątnych.
Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości 3 cm i 5 cm. Odcinek łączący środki ramion dzieli trapez na dwie figury, których stosunek pól wynosi 5:11. Oblicz długości podstaw trapezu.
W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, ramię ma długość 7 cm, a przekątna 8 cm. Oblicz długości podstaw trapezu wiedząc, że odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 4 cm.
Obwód trapezu równoramiennego wynosi 116 cm, a długość odcinka łączącego środki jego ramion jest równa 41 cm. Długość ramienia i długości podstaw tworzą (w podanej kolejności) rosnący ciąg arytmetyczny. Oblicz pole trapezu.
W trapezie ABCD boki nierównoległe AD i BC zawierają się w prostych prostopadłych. Oblicz pole trapezu, mając dane AD=a oraz <ABC = <DAC - a.
Wykaż, że jeśli przekątna trapezu równoramiennego zawiera się w dwusiecznej jego kąta ostrego, to ramię jest równe krótszej podstawie.
W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe 3pierwiastki z3.
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w trapez ABCD (AB rownoległe CD). Wykaż, że trójkąt SBC jest prostokątny.
Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległości 1 cm i 2 cm od końców ramienia pochyłego danego trapezu. Znaleźć pole trapezu.
Punkt styczności okręgu o promieniu r wpisanego w trapez równoramienny dzieli ramię trapezu w stosunku 1: 2. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie.
W trapezie równoramiennym przekątna ma długość d i tworzy z dłuższą podstawą kąt o mierze a. Oblicz
pole tego trapezu.
Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równy 16, a przekątna trapezu ma długość 5.
Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez i promienia okręgu opisanego na nim.
Oblicz długości boków trapezu równoramiennego opisanego na okręgu, znając obwód trapezu 2p i długość d jego przekątnej
W trapez równoramienny o obwodzie 20 i przekątnej długości pierwiastek z 41 można wpisać okrąg. Oblicz odległości punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od prostych zawierających jego boki.
Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu. Oblicz kosinus kąta ostrego trapezu wiedząc, że stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw jest równy 1,5.
Podstawy trapezu mają długości a i b (a > b). Suma miar kątów wewnętrznych przy dłuższej podstawie wynosi 90°. Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw.
Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wykaż, że:
a) pola tych trójkątów, w których jeden z boków jest ramieniem trapezu, są równe;
b) stosunek pól tych trójkątów, w których jeden z boków jest podstawą trapezu, jest równy stosunkowi kwadratów długości podstaw trapezu.
c) stosunek pól trójkątów takich, że bokiem jednego jest ramię trapezu, a bokiem drugiego jest podstawa trapezu, jest równy stosunkowi długości podstaw trapezu.
W trapez o polu 168 i ramionach długości 13 i 15 można wpisać okrąg. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.
Pole trapezu jest równe S, a stosunek długości jego podstaw wynosi k. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.
Pola trójkątów, których podstawami są podstawy trapezu, a wspólnym wierzchołkiem punkt przecięcia przekątnych trapezu, są równe S1 i S2. Oblicz pole trapezu.
Ramiona trapezu są średnicami dwóch okręgów. Wykaż, że jeśli okręgi te są styczne zewnętrznie, to w trapez ten można wpisać okrąg.
Udowodnij, że w trapezie, który ma dwa kąty ostre przy jednej z podstaw, suma kwadratów przekątnych równa jest sumie podwojonego iloczynu dwóch boków równoległych i kwadratów pozostałych boków.
Inne czworokąty
Dwusieczne kątów A i B trójkąta ABC przecinają okrąg opisany na nim odpowiednio w punktach K i L. Oblicz miary kątów czworokąta ABKL wiedząc, że |<A| = 60°i |<B| = 40°.
Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Uzasadnij, że środki tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, w który można wpisać okrąg.
Przedłużenia przeciwległych boków czworokąta wpisanego w okrąg tworzą kąty ostre o miarach 20° i 40° Oblicz miary kątów czworokąta.
Odcinki AK i EL są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC, a punkt S jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że:
a) na czworokącie ABCD można opisać okrąg;
b)okręgi opisane na trójkątach ABC i ABS mają promienie równej długości.
Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i C przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach B i D w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.
Dwusieczna kąta B trójkąta ABC przecina bok AC w punkcie S, a dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie T. Dwusieczne przecinają się w punkcie O. Znajdź miarę kąta A, jeżeli wiadomo, że na czworokącie ATOS można opisać okrąg.
Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.
W okrąg o promieniu 7 wpisano czworokąt ABCD. Oblicz obwód i pole tego czworokąta, wiedząc, że AB = BC, <ADC = 120° i stosunek pola trójkąta ABD do pola trójkąta BCD wynosi 2: 1.
W kole o środku O poprowadzono dwie prostopadłe średnice AB i CD oraz cięciwę AM przecinającą średnicę CD w punkcie K. Oblicz miarę kąta BAM wiedząc, że w czworokąt OBMK można wpisać okrąg.
Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E. Wiadomo, że trójkąty ABE i CDE mają równe pola, długość boku AB jest równa 4, a przekątna AC jest zawarta w dwusiecznej kąta A. Oblicz długość boku SC.
Okrąg i koło
W kole poprowadzono cięciwę i średnicę. Cięciwa dzieli średnicę na odcinki o długościach 2 oraz 10 i tworzy z nią kąt o mierze 30°. Oblicz odległość środka okręgu od cięciwy.
Z punktu A leżącego na okręgu poprowadzono średnicę AB i cięciwę AC, które tworzą kąt o mierze 20°. Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu przecinającą prostą AB w punkcie D. Oblicz miary pozostałych kątów trójkąta ACD.
Różnica promieni dwóch okręgów współśrodkowych jest równa 3. W okręgu o większym promieniu poprowadzono cięciwę styczną do drugiego okręgu. Cięciwa ta ma długość 10. Oblicz długość promieni tych okręgów.
W kole o środku S poprowadzono cięciwę, która nie jest średnicą. Punkt A dzieli tę cięciwę na dwa odcinki o długościach 11 i 29. Odcinek AS ma długość 15. Oblicz promień tego koła.
Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 9 cm . Oblicz pole koła opisanego na tym sześciokącie.
Podstawą trójkąta równobocznego jest średnica koła. Oblicz stosunek pola części trójkąta leżącej na zewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła.
Dany jest okrąg o1. Kreślimy cięciwę AB nieprzechodzącą przez środek okręgu o1, a następnie rysujemy okrąg o2 współśrodkowy z okręgiem o1 i styczny do cięciwy AB. Okręgi o1 i o2 ograniczają pierścień kołowy. Uzasadnij, że pole pierścienia kołowego nie zależy od długości promienia okręgu o1 (zależy tylko od długości cięciwy AB).
W kąt o mierze 60° wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie. Promień mniejszego okręgu ma długość 1. Oblicz długość promienia drugiego okręgu.
Promień okręgu wpisanego w wycinek koła o kącie środkowym 60° ma długość 2. Oblicz pole tego wycinka.
Odległość między środkami okręgów o promieniach 2 i 7 wynosi 13. Prosta k jest styczna do obu okręgów. Znajdź odległość między punktami styczności prostej k z tymi okręgami. Rozważ dwa przypadki.
W okrąg wpisano trójkąt ABC, w którym <A = 50° i <B = 70°. Przez wierzchołek kąta C poprowadzono styczną do okręgu, przecinającą przedłużenie boku AB w punkcie D. Oblicz miary kątów trójkąta BCD.
Dwa okręgi o środkach S1 i S2 przecinają się w punktach A i B, przy czym punkty S1 i S2 leżą po przeciwnych stronach prostej AB. Miary kątów AS1B i AS2B wynoszą odpowiednio 90° i 60°. Wyznacz długości promieni tych okręgów wiedząc, że |S1S2| = a.
W kwadrat ABCD o boku długości 2a wpisano okrąg. Oblicz długość cięciwy wyciętej przez ten okrąg z odcinka łączącego wierzchołek A ze środkiem boku CD.
Punkt P należy do okręgu opisanego na kwadracie ABCD. Wykaż, że wyrażenie PA2 + PB2 + PC2+ PD2 ma stałą wartość, niezależną od wyboru punktu P.
Trzy okręgi o promieniach 2, 4 i 6 są parami zewnętrznie styczne. Oblicz długość promienia okręgu zawierającego punkty styczności tych okręgów.
Ramiona kąta ostrego o mierze 2alfa przecięto prostą k prostopadłą do dwusiecznej kąta w odległości d od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu ramion kąta i prostej k. Oblicz odległości środków tych okręgów.
Ramiona kąta o mierze 60° przecięto prostą l prostopadłą do jednego z ramion kąta i wpisano dwa koła styczne do obu ramion tego kąta i do prostej l. Oblicz stosunek pól tych kół.
W kąt o mierze alfa wpisano ciąg kół w taki sposób, że pierwsze koło ma promień r i jest styczne do ramion kata, a każde następne koło ma mniejszy promień i jest styczne do poprzedniego koła oraz do ramion kąta. Oblicz sumę pól kół tego ciągu.
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie P. Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B (A różne od B). Wykaż, że kąt APB jest prosty.
W półkole o średnicy AB wpisano okrąg styczny do średnicy AB w jej środku. Znajdź promień okręgu stycznego jednocześnie do półokręgu AB, do wpisanego okręgu oraz do średnicy AB, jeśli AB = 2R.
Dwa okręgi o promieniach r i R (r<R) są styczne zewnętrznie. Prosta l nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej l. Rozważ dwa przypadki.