1.Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi bocznej długości \(b\) i promieniu długości \(r\) okręgu wpisanego w podstawę tego ostrosłupa.
za rozwiązanie dziękuję !
zadanie z ostrosłupem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a- krawędź podstawy (bok sześciokąta)
\(r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\a\sqrt{3}=2r\\3a=2\sqrt{3}r\\a=\frac{2\sqrt{3}}{3}r\)
R- promień okręgu opisanego na podstawie
\(R=a=\frac{2\sqrt{3}}{3}r\)
H- wysokość ostrosłupa
\(H^2+R^2=b^2\\H^2=b^2-\frac{12}{9}r^2=\frac{9b^2-12r^2}{9}\\H=\frac{\sqrt{3(3b^2-4r^2)}}{3}\)
Pole podstawy:
p- połowa obwodu sześciokąta
\(p=\frac{1}{2}\cdot6\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3}r=2\sqrt{3}r\\P=pr\\P=2\sqrt{3}r^2\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{3}r^2\cdot\frac{\sqrt{3(3b^2-4r^2)}}{3}=\frac{2\cdot3r^2\sqrt{3b^2-4r^2}}{9}=\frac{2r^2\sqrt{3b^2-4r^2}}{3}\)
\(r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\a\sqrt{3}=2r\\3a=2\sqrt{3}r\\a=\frac{2\sqrt{3}}{3}r\)
R- promień okręgu opisanego na podstawie
\(R=a=\frac{2\sqrt{3}}{3}r\)
H- wysokość ostrosłupa
\(H^2+R^2=b^2\\H^2=b^2-\frac{12}{9}r^2=\frac{9b^2-12r^2}{9}\\H=\frac{\sqrt{3(3b^2-4r^2)}}{3}\)
Pole podstawy:
p- połowa obwodu sześciokąta
\(p=\frac{1}{2}\cdot6\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3}r=2\sqrt{3}r\\P=pr\\P=2\sqrt{3}r^2\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{3}r^2\cdot\frac{\sqrt{3(3b^2-4r^2)}}{3}=\frac{2\cdot3r^2\sqrt{3b^2-4r^2}}{9}=\frac{2r^2\sqrt{3b^2-4r^2}}{3}\)