f.trygonometryczna-zadania z parametrem

[Erdbeeree]

1.Wyznacz wszystkie wartości parametru m,dla których równanie \((tgx-1)(tg^{2}x-m^{2}+3m)=0\) ma w przedziale \((- \frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2})\) jedno rozwiązanie.
2.Wyznacz wszystkie wartości parametru m,dla których równanie \(cosx= \frac{m}{3-m}\) ma rozwiązanie.

3.Wyznacz wszystkie wartości parametru m,dla których równanie \(sin2x+mcosx=0\) ma w przedziale \(<0; \pi >\)trzy rozwiązania.

Za rozwiązania z góry dziękuję !

[heja]

1)\((tgx-1)(tg^{2}x-m^{2}+3m)=0 \Leftrightarrow tgx-1=0 \vee tg^{2}x-m^{2}+3m=0\)
\(\begin{cases} tgx=1\\ x \in (- \frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2}) \end{cases} \to x= \frac{ \pi }{4}\)

skoro równanie ma mieć jedno rozwiązanie,tzn.,że drugie równanie musi nie mieć rozwiązania,
\(tg^{2}x=m^{2}-3m\)- to równanie nie będzie miało rozwiązania,jeśli prawa strona będzie ujemna,czyli:

\(m^{2}-3m<0 \Leftrightarrow m(m-3)<0 \to m \in (0;3)\)

odp.\(m \in (0;3)\)

[heja]

2)\(cosx= \frac{m}{3-m}\)- to równanie ma rozwiazanie,jeśli:

\(\begin{cases} \frac{m}{3-m} \le 1\\ \frac{m}{3-m} \ge -1\\ m \neq 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \frac{2m-3}{3-m} \le 0\\ \frac{3}{3-m} \ge 0\\ m \neq 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2m-3)(3-m) \le 0\\ 3(3-m) \ge 0\\ m \neq 3\end{cases}\)

\(\begin{cases} m \in (- \infty ; \frac{3}{2}] \cup [3;+ \infty )\\ m \le 3\\ m \neq 3 \end{cases}\)


\(odp.m \in (- \infty ; \frac{3}{2}]\)

[heja]

3)\(sin2x+mcosx=0 \Leftrightarrow 2sinxcosx+mcosx=0 \Leftrightarrow cosx(2sinx+m)=0 \Leftrightarrow cosx=0 \vee sinx=- \frac{m}{2}\)

\(\begin{cases} cosx=0\\ x \in [0; \pi ]\end{cases} \to x= \frac{ \pi }{2}\)
jedno rozwiązanie mamy,mają być 3;czyli drugie równanie musi mieć dwa rozwiazania;

\(\begin{cases} sinx=- \frac{m}{2}\\ x \in [0; \pi ] \end{cases} \to - \frac{m}{2} \in [0;1)\)

\(\begin{cases} - \frac{m}{2}<1\\ - \frac{m}{2} \ge 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} -m-2<0\\ m \le 0\end{cases} \to \begin{cases} m>-2\\ m \le 0\end{cases} \to m \in (-2;0]\)

sprawdż proszę rachunki,żeby nie było błędów rachunkowych