forum.zadania.info

1) Test zawiera 8 pytań, wśród których jedno jest bardzo łatwe i jedno bardzo trudne. Na ile sposobów można ponumerować te pytania, jesli :
a) kolejność pytań może być dowolna
b) pytanie bardzo łatwe powinno mieć numer 1, a pytanie bardzo trudne - numer 8 ?

2) Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr ze zbioru (1,2,3,4,5,6,7), jeśli cyfry w liczbie mogą się powtarzać oraz :
a) wystąpi cyfra 2 b) liczba ma być parzysta, c) wystąpi cyfra 3 i nie wystąpi cyfra 7?

3) W budynku mieszkalnym można kupić mieszkania 3-,4- i 5-pokojowe. Wykonawca oferuje wykończenie każdego mieszkania w jednym z sześciu różnych standardów. Na ile sposobów klient może wybrać mieszkanie wraz ze standardem wykończenia?

4) Chór szkolny ma w swoim repertuarze 8 piosenek. Na ile sposobów można ustalić kolejność wykonania wszystkich utworów na koncercie?

5) Przy okrągłym stole, którego miejsca są nierozróżnialne, ma usiąść 5 kobiet i 5 mężczyzn. Na ile sposobów można posadzić te osoby tak, aby każda kobieta miała za sąsiadów dwóch mężczyzn?

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań. Prosiłbym o możliwy czytelny zapis i wytłumacznie. Z góry dzięki za pomoc.
Pozdrawiam.

1.
a)
Możliwości jest tyle, ile przestawień (permutacji) w zbiorze 8-elementowym
\(8!=8\cdot7\cdot6\cdot...\cdot2\cdot1\)

b)
Dwa pytanie wstawiamy na wskazane miejsca. Pozostałe 6 na pozostałe 6 miejsc
Mozliwości jest więc \(6!=6\cdot5\cdot...\cdot2\cdot1\)

2.
a)
Cyfra 2 może być rozmieszczona na 3 możliwości - może być cyfrą setek, cyfrą dziesiątek lub cyfrą jedności. Na pozostałych dwóch miejscach lokujemy każdą z siedmiu cyfr
Takich liczb jest więc \(3\cdot7^2=3\cdot49=147\)

b)
Na końcu może być cyfra 2, 4 lub 6 (3 możliwości). Na pozostałych - każda z siedmiu cyfr
\(3\cdot7^2=147\)

c)
Cyfrę 3 lokujemy na jednym miejscu, na pozostałych dowolne cyfry- za każdym razem wybieramy ze zbioru 6 cyfr
\(3\cdot6^2=3\cdot36=108\)

3.
Mamy 3 typy mieszkań i 6 typów wykończeń.
Mozliwości jest więc \(3\cdot6=18\)

4.
\(8!\) - ilość permutacji w zbiorze 8-elementowym

5.
Kobiety sadzamy na co drugim miejscu, między nimi sadzamy pięciu mężczyzn.
Ponieważ miejsca nie są rozróżnialne, więc myślę, że obojętne jest, które miejsce która kobieta zajmuje (byle zajęły co drugie krzesło). Ważne jest umieszczenie mężczyzn na pięciu pozostałych pięciu miejscach. Moim zdaniem takich możliwości jest 5!.
Wydaje mi się, że tutaj ustawienia różne to to, jaki mężczyzna siedzi po prawej stronie każdej kobiety i jaki po jej lewej stronie.
Ale dobrze by było, żeby ktoś to skonsultował...

Jeżeli to pomoże to wynik w odpowiedziach do zadania 5, jest 2880. Możliwe, że jest błędny.