Monotoniczność

[bunio244]

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji:
\(y=x^3(1-x)\)

[irena]

\(f(x)=x^3(1-x)=-x^4+x^3\\D=R\\f'(x)=-4x^3+3x^2\\f'(x)=0\ \Leftrightarrow \ -x^2(4x-3)=0\ \Leftrightarrow \ x=0\ \vee\ x=\frac{3}{4}\\f'(x)>0\ \Leftrightarrow \ x\in(-\infty;\ 0)\ \cup\ (0;\ \frac{3}{4})\\f'(x)<0\ \Leftrightarrow \ x\in(\frac{3}{4};\ \infty)\)

Funkcja jest rosnąca dla \(x\in (-\infty;\ \frac{3}{4}>\)
Funkcja jest malejąca dla \(x\in<\frac{3}{4};\ \infty)\)
Dla \(x=\frac{3}{4}\) funkcja ma maksimum lokalne wynoszące \(f(\frac{3}{4})=\frac{27}{64}\cdot\frac{1}{4}=\frac{27}{256}\) (jest to jednocześnie największa wartość tej funkcji).
Dla x=0 jest punkt przegięcia.

[alexx17]

\(D_f=R\)
\(f'(x)=3x^2-4x^3=x^2(3-4x) \ \ \Rightarrow \ \ x=0 \ \vee \ x= \frac{3}{4} \\D_{f'}=R\)

\(f'(x)>0 \ \ dla \ x \in (- \infty , \frac{3}{4}) \ \ jest \ rosnaca\\f'(x)<0 \ \ dla \ \ x \in ( \frac{3}{4}, + \infty ) \ jest \ malejaca\)

[acht]

Funkcja jest rosnąca na danym przedziale wtedy, kiedy jej pochodna we wszystkich punktach z danego przedziału jest dodatnia, a malejąca wtedy, kiedy pochodna jest ujemna.

\(y=-x^4 + x^3 \\
y'=-4x^3 + 3x^2 \\
y'=-x^2(x-\frac{3}{4}) \\\)

Pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie dla x<3/4 i ujemne dla x>3/4.
Przedziały monotoniczności:
\(x\in (-\infty,\frac{3}{4}) - f.rosnaca \\
x\in (\frac{3}{4},\infty) - f.malejaca\)

[Crazy Driver]

Funkcja jest rosnąca na danym przedziale wtedy, kiedy jej pochodna we wszystkich punktach z danego przedziału jest dodatnia, a malejąca wtedy, kiedy pochodna jest ujemna.

O ile funkcja jest na danym przedziale różniczkowalna. Jeśli np. uznamy, że \(f(x)= \sqrt{x}\) jest rosnąca na \([0,+ \infty )\), to nie jest to równoznaczne z tym, że jej pochodna \(f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{x} }\) jest na tym przedziale dodatnia, bo w \(x_0=0\) pochodna nie istnieje.

[bunio244]

irena, tam chyba przedziały otwarte obustronnie...a poza tym jedno pytanie mam...wiem, że to dobra odpowiedź, ale dlaczego funkcja jest rosnąca w całym przedziale \((- \infty ; \frac{3}{4} )\), skoro jej pochodna jest większa od zera w tym przedziale, ale bez punktu (0)?

[irena]

Funkcja jest rosnąca w całym przedziale \((-\infty;\ \frac{3}{4}>\). W punkcie (0, 0) jest punkt przegięcia, kiedy wykres zmienia wypukłość (z wklęsłego na wypukły).

A o tym, czy przedział ma być otwarty prawostronnie również, dyskutowaliśmy już na forum. Przyjmuje sie teraz, że funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\infty;\ \frac{3}{4}>\), a nie tylko \((-\infty;\ \frac{3}{4})\), chociaż dawno temu pisało się o przedziałach otwartych, o ile dobrze pamiętam.

[bunio244]

aha, czyli w takich wypadkach jak mamy tylko jeden punkt nienależący do przedziału, to dla monotoniczności to nie robi różnicy?

[irena]

Punkt dla x=0 należy do przedziału, przechodząc przez punkt dla x=0 pochodna nie zmienia znaku, więc dla x=0 jest punkt przegięcia.

[bunio244]

ok, dzięki ;p

[Crazy Driver]

Chodzi o to, że pochodna po przejściu przez punkt (0,0) nie zmieniła znaku. Skoro nie zmieniła w nim znaku, tzn., że nie ma w nim ekstremum i nie zmienia się charakter monotoniczności.

Owszem, ten punkt nie robi różnicy. Jeżeli funkcja rośnie w otoczeniu tego punkt (w jego otoczeniu pochodna jest dodatnia) i jest ciągła w całym otoczeniu, łącznie z tym punktem, to w tym punkcie nie ma się jak zepsuć i monotoniczność jest zachowana.

[bunio244]

Crazy Driver, łatwiej chyba się nie dało, dzięki wielkie