forum.zadania.info

W równoległoboku dany jest kat ostry alfa i odległość k,l punktu przecięcia przekątnych od nierównoległych boków. Wyznacz długości przekątnych równoległoboku.

pomocy...

Wysokość opuszczona na jeden z boków (o długości a) ma długość 2k, a na drugi bok (o długości b) ma długość 2l.
\(\frac{2k}{b}=sin\alpha\\b=\frac{2k}{sin\alpha}\)

\(\frac{2l}{a}=sin\alpha\\a=\frac{2l}{sin\alpha}\)

p- krótsza, q- dłuższa przekątna równoległoboku.
Z twierdzenia cosinusów:
\(p^2=a^2+b^2-2ab cos\alpha\\p^2=\frac{4l^2+4k^2-8kl cos\alpha}{sin^2\alpha}\\p=\frac{\sqrt{4k^2+4l^2-2kl cos\alpha}}{sin\alpha}\)

\(q^2=a^2+b^2-2ab cos(180^0-\alpha)=a^2+b^2+2ab cos\alpha\\q^2=\frac{4l^2+4k^2+8kl cos\alpha}{sin^2\alpha}\\q=\frac{\sqrt{4k^2+4l^2+8kl cos\alpha}}{sin\alpha}\)

dziękuje za pomoc.