forum.zadania.info

Z półkuli o promieniu R wycinamy stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej długości 2R. Następnie prowadzimy płaszczyznę równoległą do podstawy stożka, która przecina powstałą bryłę. Wyznacz odległość tej płaszczyzny od płaszczyzny podstawy stożka tak, aby pole otrzymanego przekroju było największe.

Szukana płaszczyzna to pierścień kołowy
\(P=\pi (|ED|^2-|EF|)^2\)

\(|ED|=\sqrt{R^2-x^2}\\
|EF|=R-x\)

\(P=\pi ((sqrt{R^2-x^2}\)^2-(R-x)^2\\
P=\pi (-2x^2+2Rx)\)

\(P'=[\pi (-2x^2+2Rx)]'=-4 \pi x+2 \pi R\\
-4 \pi x+2 \pi R=0\\
x=\frac{R}{2}\)