Prosta zawierająca środki odcinków z przecięcia paraboli

[djlinux]

Nie wiem czy to najlepszy dział dla tego zadania, proszę w razie problemu o przeniesienie.

Zbiór F jest zbiorem wszystkich odcinków, których oba końce leżą na paraboli danej równaniem \(y=-(x-3)^2+1\) i które są prostopadłe do prostej o równaniu \(x+2y=0\) . Wyznacz równanie półprostej, na której leżą środki odcinków ze zbioru F.

Mój pomysł:
\(\begin{cases}
y=2x+b
y=-(x-3)^2+1
\end{cases}\)
Dostaje kwadratową : \(f(x) = x^2-4x+8+b=0\)
Prosta i parabola muszą się przecinać, więc \(\Delta \ge 0 \Rightarrow b \le -4\)
Pierwsza współrzędna wierzchołka powyższej funkcji to pierwsza współrzędna środka takiego odcinka, stąd też środki szukanych odcinków to\(P(2,4+b)\)
Co dalej, może źle do tego podchodze? Nie wiem jak ładnie dowieść, że to prosta \(x =2\).

[radagast]

Pierwsza współrzędna wierzchołka powyższej funkcji to pierwsza współrzędna środka takiego odcinka, stąd też środki szukanych odcinków to\(P(2,4+b)\)
Co dalej, może źle do tego podchodze? Nie wiem jak ładnie dowieść, że to prosta \(x =2\).

Tej końcówki to nie rozumiem (co nie znaczy , ze jest źle)
Ja bym robiła tak:


\(f(x) = x^2-4x+8+b=0 \Leftrightarrow f(x) = (x-2)^2+4+b=0\)

czyli miejsca zerowe funkcji to \(x=- \sqrt{-4-b}+2 \vee x=\sqrt{-4-b}+2\)

No to po środku leży \(x=2\) (niezależnie od b)

Czyli każdy taki odcinek ma środek w punkcie o odciętej 2, a zgodnie z tym co juz wcześniej ustaliłeś \(b \le -4\)

[djlinux]

Dzięki za potwierdzenie