1.Dane są punkty A=(-1;-1),B=(3;-2),S=(1,1).Znajdź wierzchołki C i D równoległoboku ABCD ,wiedząc że punkt S jest jego środkiem symetrii.
2.Dane są trzy wierzchołki równoległoboku ABCD : A=(0;0),B=(3;1),D=(-1;1).Wyznacz współrzędne wierzchołka C oraz punkt przecięcia przekątnych tego równoległoboku.
3.Dane są dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu ABCD :A=(0;-1),C=(3;0).Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
Z GÓRY DZIĘKUJĘ ZA ROZWIĄZANIE !
3 ZADANIA :wektory w układzie współrzędnych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
\(C=(c_1;\ c_2)\\\vec{AS}=\vec{SC}\\\vec{AS}=[1+1;\ 1+1]=[2;\ 2]\\\vec{SC}=[c_1-1;\ c_2-1]=[2;\ 2]\\ \begin{cases}c_1-1=2\\c_2-1=2 \end{cases} \\ \begin{cases}c_1=3\\c_2=3 \end{cases} \\C=93;\ 3)\)
\(\vec{BS}=\vec{SD}\\D=(d_1;\ d_2)\\\vec{BS}=[1-3;\ 1+2]=[-2;\ 3]\\\vec{SD}=[d_1-1;\ d_2-1]=[-2;\ 3]\\ \begin{cases}d_1-1=-2\\d_2-1=3 \end{cases} \\ \begin{cases}d_1=-1\\d_2=4 \end{cases} \\D=(-1;\ 4)\)
\(C=(c_1;\ c_2)\\\vec{AS}=\vec{SC}\\\vec{AS}=[1+1;\ 1+1]=[2;\ 2]\\\vec{SC}=[c_1-1;\ c_2-1]=[2;\ 2]\\ \begin{cases}c_1-1=2\\c_2-1=2 \end{cases} \\ \begin{cases}c_1=3\\c_2=3 \end{cases} \\C=93;\ 3)\)
\(\vec{BS}=\vec{SD}\\D=(d_1;\ d_2)\\\vec{BS}=[1-3;\ 1+2]=[-2;\ 3]\\\vec{SD}=[d_1-1;\ d_2-1]=[-2;\ 3]\\ \begin{cases}d_1-1=-2\\d_2-1=3 \end{cases} \\ \begin{cases}d_1=-1\\d_2=4 \end{cases} \\D=(-1;\ 4)\)
3.
Równanie prostej AC:
\(\frac{y+1}{x-0}=\frac{0+1}{3-0}\\3y+3=x\\AC:\ \ x-3y-3=0\)
S- środek odcinka AC:
\(S=(\frac{0+3}{2};\ \frac{-1+0}{2})=(\frac{3}{2};\ -\frac{1}{2})\)
Prosta BD jest prostopadła do AC i przechodzi przez punkt S:
\(3x+y+C=0\\3\cdot\frac{3}{2}-\frac{1}{2}+C=0\\4+C=0\\C=-4\\BD:\ \ 3x+y-4=0\)
\(|AC|=\sqrt{(3-0)^2+(0+1)^2}=\sqrt{10}\\|AS|=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
\(BD:\ \ 3x+y-4=0\\y=-3x+4\\B,\ D:\ \ (k,\ -3k+4)\\|BS|=|DS|=\frac{\sqrt{10}}{2}\\\sqrt{(\frac{3}{2}-k)^2+(-\frac{1}{2}+3k-4)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\\(\frac{3}{2}-k)^2+(3k-\frac{9}{2})^2=\frac{10}{4}\\\frac{9}{4}-3k+k^2+\frac{81}{4}-27k+9k^2=\frac{10}{4}\\10k^2-30k+20=0\\k^2-3k+2=0\\k_1=1\ \vee\ k_2=2\\B=(1;\ 1),\ \ D=(2;\ -2)\)
Równanie prostej AC:
\(\frac{y+1}{x-0}=\frac{0+1}{3-0}\\3y+3=x\\AC:\ \ x-3y-3=0\)
S- środek odcinka AC:
\(S=(\frac{0+3}{2};\ \frac{-1+0}{2})=(\frac{3}{2};\ -\frac{1}{2})\)
Prosta BD jest prostopadła do AC i przechodzi przez punkt S:
\(3x+y+C=0\\3\cdot\frac{3}{2}-\frac{1}{2}+C=0\\4+C=0\\C=-4\\BD:\ \ 3x+y-4=0\)
\(|AC|=\sqrt{(3-0)^2+(0+1)^2}=\sqrt{10}\\|AS|=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
\(BD:\ \ 3x+y-4=0\\y=-3x+4\\B,\ D:\ \ (k,\ -3k+4)\\|BS|=|DS|=\frac{\sqrt{10}}{2}\\\sqrt{(\frac{3}{2}-k)^2+(-\frac{1}{2}+3k-4)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\\(\frac{3}{2}-k)^2+(3k-\frac{9}{2})^2=\frac{10}{4}\\\frac{9}{4}-3k+k^2+\frac{81}{4}-27k+9k^2=\frac{10}{4}\\10k^2-30k+20=0\\k^2-3k+2=0\\k_1=1\ \vee\ k_2=2\\B=(1;\ 1),\ \ D=(2;\ -2)\)