\(\3^n>2^{n+1}\) dla n>=2 czy mozna tak rozwiazywac te nierownosci?
\(\3^{n+1}>2^{n+2}
3^n*3>2^n*4
2^n*2*3>2^n*4
3>2\)
zawsze prawdziwe
indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Dobrze, że napisałaś w tytule, że chodzi o indukcję, bo trudno zgadnąć... 
Mozna tak to udowodnić ale zapisałabym to inaczej:
1) dla n=1 nierówność jest prawdziwa , bo 3>2
2) założenie indukcyjne: istnieje \(n \in N\) t.że \(3^n>2^{n+1}\)
teza: \(3^{n+1} >2^{n+2}\)
dowód:\(3^{n+1}=3 \cdot 3^n>3 \cdot 2^{n+1} >2 \cdot 2^{n+1} =2^{n+2}\)
Zatem na mocy zasdy indukcji matematycznej, twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych
Mozna tak to udowodnić ale zapisałabym to inaczej:
1) dla n=1 nierówność jest prawdziwa , bo 3>2
2) założenie indukcyjne: istnieje \(n \in N\) t.że \(3^n>2^{n+1}\)
teza: \(3^{n+1} >2^{n+2}\)
dowód:\(3^{n+1}=3 \cdot 3^n>3 \cdot 2^{n+1} >2 \cdot 2^{n+1} =2^{n+2}\)
Zatem na mocy zasdy indukcji matematycznej, twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych