zadanie 8 rozszerzenia

[anilewe_MM]

Dany jest trójkąt ABC, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta ABC jest dwa razy większa od miary kąta BAC. Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek \(|AC|^2 = |BC|^2 + |AB| \cdot |BC|\).

Jedyne, w którym się zamuliłam. Interesuje mnie zwłaszcza rozwiązanie @Jerry

[Jerry]

Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(\overline{AC}\) w punkcie \(D\) i dzieli \(\Delta ABC\) na dwa trójkąty: równoramienny \(\Delta ABD\), w którym \(|AD|=|BD|=x>0\) i \(\Delta DBC\) - podobny do \(\Delta ABC\) z cechy \((k,k,k)\). Przy standardowych oznaczeniach zachodzi ciąg równości:
\[\frac{b-x}{a}=\frac{a}{b}=\frac{x}{c}\\
a^2=b(b-x)\wedge bx=ac\\ a^2=b^2-ac\]
co jest równoważne tezie.

Pozdrawiam
PS. To i tak dziewiątka będzie z przodu - gratulacje!

[kacper218]

Ja osobiście bym dorysował trójkąt do \(ABC\) tak, aby uzyskać inny trójkąt równoramienny \(ACD\), gdzie \(|AC|=|CD|\).
Teza wynika z podobieństwa trójkąta \(ACD\), do trójkąta \( BCD\).

Pozdrawiam