forum.zadania.info

Zmienna losowa 𝑋 ~ 𝑁 (95, 𝜎). Ile wynosi wariancja, jeśli wiadomo, że 20% powierzchni pod
krzywą normalną leży na prawo od prostopadłej w 𝑥 = 103,4? Zinterpretować wyniki na wykresach
funkcji gęstości i dystrybuanty


początkowo liczyłem to w taki sposób żę
P(x < 103.4) = 0.8
Φ(8,4 / δ ) = 0.8
8,4 / δ = 0.84
δ = 10
narysowalem dystrybuante i f gestosci
a wykresy standaryzowane dla wartosci owej 0.84


ale uznałem że to trochę licznie "na odwrót" i chciałem policzyć dokładnie jak w treści zadania tzn .

P ( X > 103,4) = 0.2
1 − P( X < 103.4) = 0.2
1 − P (U < (103,4 − 95)/δ )= 0.2
1 − δ(8,4/ δ) = 0.2
δ(−8,4/ δ) = 0.2
−8,4 / δ = - 0.84
δ = 10

dodam tylko że mam tabelkę dla dodatnich i ujemnych wartości taką jak ta https://ibb.co/sgCtXLy

i wszystko sie niby zgadza ale rozumiem że jak chcę narysować wykres standaryzowany to nie zaznaczam tego - 0.84 mimo że tak mam tutaj tylko 0.84 na plusie? Nie brać pod uwagę tego minusa? Czy źle myślę? Bo chciałbym poznać jaka droga jest najbardziej poprawna.

Pierwszy sposób jest niedobry. Drugi sposób dobry, bo \( 20\% \) powierzchni pod krzywą normalną znajduje się na prawo (nie na lewo) od prostej \( x = 103,4.\)

Standaryzacja - przebiegła pomyślnie.

Odchylenie standardowe \( \sigma = 10.\)

Wariancja \( \sigma^2 = 100.\)

Otrzymaliśmy rozkład normalny zmiennej losowej \( X \sim \mathcal{N}(95, 100) \)

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać

\( f_{X}(x) = \frac{1}{10\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-95)^2}{2\cdot 100}} \ \ (*)\)

Standaryzując ten rozkład do postaci stablicowanej przez podstawienie \( Z = \frac{X - 95}{10} \)

Geometrycznie oznacza to, przesunięcie w lewo do początku układu współrzędnych \( 0xy \) wykresu \( (*) \) i powinowactwo prostokątne (zwężenie) w skali \( 1:10 \) o osi \( Oy.\)

Otrzymujemy rozkład o gęstości

\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} \)

i dystrybuancie

\( \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt.\)

Wartości tych dwóch funkcji są stablicowane.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową - symetryczną względem prostej \( m= 0. \)

Wielkość tego przesunięcia \( 0,84 \) zaznaczamy po obydwu stronach osi \( Oy \) czyli \( -0,84, \ \ 0,84. \)

Czyli to będzie coś tego typu?
https://ibb.co/dDs9v4Z
Bo jeśli mam zaznaczac to 20% największych to czy jest sens zaznaczać to -0.84?
Bo moja zagwostka w tym jest taka że mając ten wykres standardyzowany wychodzi z obliczeń że 20% największych jest dla wartości -0.84 i tak jak by na prawo o -0.84 jest tych 20% największych a tak chyba do końca nie jest i tych 20% największych trzeba zaznaczać na prawo od 0.84.
I czy da się coś zaznaczyć na tych osiach tak aby były idealnie podpisane? Czy te pola w funkcjach gęstości mają jakąś określoną wartość w tym zadaniu która mogę podać? Albo czy na osiach OY mogę coś podpisać? Bo potrzebuje takiego skrupulatnego opisu na kolokwium

Tak. Dopisz -0,84 na wykresie gęstości i zaznacz \( 0,50 \) na wykresie dystrybuanty.

ale na ledwo od -0.84 nic nie mam zaznaczać, tak?

Przeciągasz asymptotycznie wykres krzywej dzwonowej- Gaussa do osi \( Ox, \) tak jak i wykres dystrybuanty do osi \( Ox \) i do prostej \( y=1.\)

Dokładnie trzeba by było znaleźć współrzędne jej maksimum lokalnego i punktów przegięcia.

aha ale ta czesc ktora mam zaznaczyc w zadaniu to tylko ta po prawej stronie wieksza od 103,4 albo 0.84

Wykresy gęstości jak dystrybuant zmiennych losowych są różne i nie można ich mylić.

Płaska krzywa dzwonowa o osi symetrii \( x = 95 \) i wysokości \( \frac{1}{10\sqrt{2\pi}}\) oraz \( \sigma = 10 \) jest wykresem gęstości zmiennej losowej \( X\sim\mathcal{N}(95, 10^2). \).

Wykres gęstości tej zmiennej losowej- standaryzowany jest krzywą o osi symetrii \( x= 0 \) i wysokości \( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \) i \( \sigma = 0,87.\)

Punkt o współrzędnych \( (x, 0) = (103,4,\ \ 0),\) to granica pionowa dwudziesto-procentowego pola powierzchni zawartego pomiędzy krzywą gęstości i osią \( Ox.\)

ok no czyli trzeba zaznaczyć te obszary tylko na prawo od tych punktów

Tak. Można też zaznaczyć pozostałe osiemdziesięcio-procentowe pola powierzchni.