całka

[Bartek216]

Prośba o pomoc w rozwiązaniu/przekształceniu do prostszej formy, ponieważ wychodzi mi 7/4 zamiast 1/7(tak jest w rozwiązaniu)

[maria19]

Przed logarytmem powinno byc 7/4
sprawdź sobie https://mathdf.com/int/pl/#expr=x%5E2%2 ... arg=x&et=1
ale i tak nie wyjdzie 1/7.

[janusz55]

\( \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} \frac{u^2}{u^2-\frac{49}{4}}du \)

Dzielimy licznik przez mianownik funkcji podcałkowej

\( \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} \frac{u^2}{u^2-\frac{49}{4}}du= \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} \left (1 + \frac{\frac{49}{4}}{u^2-\frac{49}{4}}\right) du = \)

Korzystatamy z liniowości całki oznaczonej

\( = \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} 1du + \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} \frac{\frac{49}{4}}{u^2 -\frac{49}{4}} = I_{1} + I_{2}.\)

Obliczamy osobno każdą z całek .

\( I_{1} = \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} 1du = \left [ u\right]_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} = \frac{511}{110} - \frac{427}{120}.\)

Najmniejsza wspólna wielokrotność \( \mathcal{NWW}(110, 120) = 2\cdot 5 \cdot 11\cdot 2^2\cdot 3 = 1320.\)

\( I_{1} = \frac{12\cdot 511-11\cdot 427}{1320} = \frac{6132-4697}{1320} = \frac{1435}{1320} = \frac{287}{264}.\)

Wartość pierwszej całki jest równa

\( I_{1} = \frac{287}{264} \)

Obliczamy wartość drugiej całki

\( I_{2} = \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}}\left(\frac{\frac{49}{4}}{u^2 - \frac{49}{4}} \right)du \)

Rozkładamy funkcję podcałkową na sumę dwóch ułamków prostych

\(\frac{\frac{49}{4}}{u^2 - \frac{49}{4}} = \frac{\frac{49}{4}}{\left(u-\frac{7}{2}\right)\left( u+\frac{7}{2}\right)} = \frac{A}{u-\frac{7}{2}} + \frac{B}{u +\frac{7}{2}} = \frac{(A+B)u + \frac{7}{2}(A-B)}{\left(u-\frac{7}{2}\right)\left( u+\frac{7}{2}\right)}\)

Stąd

\( \begin{cases} A + B = 0 \\ \frac{7}{2}(A - B) = \frac{49}{4} \end{cases} \)

\( \begin{cases} A + B = 0 \\ A - B = \frac{7}{2} \end{cases} \)

Po rozwiązaniu tego układu \( A = \frac{7}{4}, \ \ B = -\frac{7}{4} .\)

\( \frac{\frac{49}{4}}{u^2 - \frac{49}{4}} = \frac{\frac{49}{4}}{\left(u-\frac{7}{2}\right)\left( u+\frac{7}{2}\right)} = \frac{\frac{7}{4}}{u-\frac{7}{2}} + \frac{-\frac{7}{4}}{u +\frac{7}{2}} \)

\( \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} \frac{\frac{49}{4}}{u^2 - \frac{49}{4}}du = \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}}\frac{\frac{49}{4}}{\left(u-\frac{7}{2}\right)\left( u+\frac{7}{2}\right)}du = \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} \frac{\frac{7}{4}}{u-\frac{7}{2}} du+ \int_{\frac{420}{120}}^{\frac{511}{110}}\frac{-\frac{7}{4}}{u +\frac{7}{2}} du = \left[\frac{7}{4}\ln\left(u -\frac{7}{2}\right)\right ]_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} - \left[ \frac{7}{4}\ln\left(u + \frac{7}{2}\right)\right]_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} = \)
\( = \frac{7}{4}\left[\ln\left(\frac{511}{110} -\frac{7}{2}\right) - \ln\left(\frac{427}{120} -\frac{7}{2}\right) \right] - \frac{7}{4}\left[\ln\left(\frac{511}{110} +\frac{7}{2}\right) - \ln\left(\frac{427}{120} +\frac{7}{2}\right) \right] =\frac{7}{4} \ln\left(\frac{63}{55}\right) -\frac{7}{4}\ln\left(\frac{7}{20}\right)-\frac{7}{4}\ln\left(\frac{448}{55}\right) +\frac{7}{4}\ln\left(\frac{847}{120}\right) = \frac{7}{4}\ln\left(\frac{63}{448}\right) + \frac{7}{4}\ln\left(\frac{847}{42}\right) \)

\( \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} \frac{u^2}{u^2-\frac{49}{4}}du = \frac{287}{264}+ \frac{7}{4}\ln\left(\frac{847}{42}\right) + \frac{7}{4} \ln\left(\frac{63}{448}\right).\)

Można wyrazić wartość tej całki za pomocą funkcji area tangens hiperboliczny na podstawie równania

\( artgh(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right). \)

[korki_fizyka]

pięknie przepisane a na końcu wielbłąd

\( = \frac{7}{4}\left[\ln\left(\frac{511}{110} -\frac{7}{2}\right) - \ln\left(\frac{427}{120} -\frac{7}{2}\right) \right] - \frac{7}{4}\left[\ln\left(\frac{511}{110} +\frac{7}{2}\right) - \ln\left(\frac{427}{120} +\frac{7}{2}\right) \right] =\frac{7}{4} \ln\left(\frac{63}{55}\right) -\frac{7}{4}\ln\left(\frac{7}{20}\right)-\frac{7}{4}\ln\left(\frac{448}{55}\right) +\frac{7}{4}\ln\left(\frac{847}{120}\right) = \frac{7}{4}\ln\left(\frac{63}{448}\right) + \frac{7}{4}\ln\left(\frac{847}{42}\right) \)

\( \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} \frac{u^2}{u^2-\frac{49}{4}}du = \frac{287}{264}+ \frac{7}{4}\ln\left(\frac{847}{42}\right) + \frac{7}{4} \ln\left(\frac{63}{448}\right).\)

\( = \frac{7}{4}\left[\ln\left(\frac{511}{110} -\frac{7}{2}\right) - \ln\left(\frac{427}{120} -\frac{7}{2}\right) \right] - \frac{7}{4}\left[\ln\left(\frac{511}{110} +\frac{7}{2}\right) - \ln\left(\frac{427}{120} +\frac{7}{2}\right) \right] =\frac{7}{4} \ln\left(\frac{63}{55}\right) -\frac{7}{4}\ln\left(\frac{7}{120}\right)-\frac{7}{4}\ln\left(\frac{448}{55}\right) +\frac{7}{4}\ln\left(\frac{847}{120}\right) = \frac{7}{4}\ln\left(\frac{63}{448}\right) + \frac{7}{4}\ln\left(\frac{847}{7}\right) \)

Spoiler

\( \int_{\frac{427}{120}}^{\frac{511}{110}} \frac{u^2}{u^2-\frac{49}{4}}du \approx 6,04685\)