forum.zadania.info

Dzień dobry, mam problem z zadaniem:
Pewien mikroprocesor podczas wykonywania operacji robi błąd w obliczeniach
z prawdopodobieństwem \( p = 10^{−4}\). Niech n będzie liczby operacji wykonanej przez ten
mikroproprocesor, a \(p_n\) odsetkiem błędnych operacji. Jak duże powinno być \(n\), aby
\(P(\frac{|p_n − p|}{p}> 0, 1)≤ 0, 07\)

Z góry dziękuję za pomoc

Dobry Wieczór

Błędy podczas pracy procesora modelujemy rozkładem Bernoulliego \( \mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(n, 10^{-4}).\)

Mamy obliczyć jak duża powinna być liczba operacji wykonywanych przez ten procesor \( n, \) aby prawdopodobieństwo zdarzenia \( \left\{ \frac{|p_{n}-p|}{p} >0,1\right\} \) było mniejsze od \( 0,07 \) lub równe.

Przekształcamy zdarzenie do takiej postaci, która pozwoli nam zastosować nierówność Pafnutija Czebyszewa

\( \left\{ \frac{|p_{n}-p|}{p} >0,1\right\} = \left\{\frac{p_{n}}{p} -1 >0,1\right\} = \left\{\frac{p_{n}}{p}> 1,1 \right\}= \left\{ p_{n} >1,1\cdot p \right\} \)

\( P\left( \frac{p_{n}}{n} - p > \frac{1,1\cdot p}{n} -p = \frac{1,1p -n\cdot p}{n} \right) \)

\( X = \frac{p_{n}}{n}, \ \ E(X) = \frac{n\cdot p}{n} = p, \ \ D^2(X) = \frac{np\cdot (1-p)}{n^2} = \frac{p\cdot (1-p)}{n}. \)

Z nierówności P. Czebyszewa dla każdego \( \varepsilon =\frac{1,1p -n\cdot p}{n}>0 \)

\( P\left( \frac{p_{n}}{n}-p > \frac{1,1p -n\cdot p}{n}\right) = P\left( X -E(X) > \frac{1,1p -n\cdot p}{n}\right) \leq \frac{\frac{p(1-p)}{n}}{\left(\frac{1,1p-n\cdot p}{n}\right)^2} = \frac{n(1-p)}{p(1,1-n)^2} \leq 0,07 \)

Stąd

\( \frac{n\cdot (1 -10^{-4})}{10^{-4}\cdot (1,1-n)^2} \leq 0,07. \)

Rozwiązaniem nierówności \( n \geq 142845. \)

Odpowiedź: \( n \geq 142845. \)