forum.zadania.info

Wyznacz największą wartość obwodu prostokąta, którego dwa wierzchołki leżą na osi Ox, a pozostałe dwa na paraboli \(y = -x^2+6\).

Oczywiście, ten prostokąt ma nieskończenie wielki obwód.

PS
Kolejny autor zapomniał dopisać, że wierzchołki na paraboloidzie mają mieć dodatnie y-greki. Tak jest, jak się głupio ściąga od innych.

Rys.
Wykres paraboli jest symetryczny względem osi \( Oy. \)

Współrzędne wierzchołków prostokąta:

\( A(-x, 0) , \ \ B( x, 0), \ \ C( x, -x^2+6), \ \ D(-x, -x^2+6).\)

Kwadrat obwodu prostokąta:

\( Obwód^2(x) = 2[(x-(-x))^2 + (0 -0)^2] +2[ (x-x)^2 + (-x^2+6 -0)^2] = 8x^2 + 2(x^2-6)^2 = 8x^2 +2(x^4 -12x^2+36) = 2x^4-16x^2+72.\)

\( x^2_{max} = \frac{16}{4} = 4, \ \ x_{max} = 2. \)

\( Obwód^2(2) = 2\cdot 2^4 -16\cdot2 + 72 = 16 -32 +36 = 20.\)

\( Obwód_{max} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.\)

Dokładniej

\( Obwód^2(x) = |\overline{AB}|^2 + |\overline{BC}|^2 + |\overline{CD}|^2 + |\overline{DA}|^2 \)

\( Obwód^2(x) = [x-(-x)^2 + (0-0)^2] + [(x-x)^2 + (-x^2+6-0)^2] + [(-x-x)^2+ (-x^2+6 +x^2-6)^2] +[(-x+x)^2+(0+x^2-6)^2] =\)

\( = (2x)^2 + (-x^2+ 6)^2 +(-2x)^2 + (x^2-6)^2= 8x^2 +2(x^2-6) = 8x^2 +2(x^4 -12x^2 +36) = 2x^4 -16x^2 +72x.\)

Jeżeli przyjmiemy, po komentarzu kerajsa, że prostokąt ma wierzchołki
\(A(-x, 0) ,\ B( x, 0),\ C( x, 6-x^2),\ D(-x, 6-x^2)\) dla \(x\in(0;\sqrt6)\),
to funkcja jego obwodu (zrób rysunek) ma postać:
\[y=f(x)=2\cdot2x+2\cdot(6-x^2)=-2x^2+4x+12=-2(x-1)^2+14\le14\]
i równość zachodzi dla \(x=1\)

Pozdrawiam
PS. Kwadrat sumy i suma kwadratów to nie to samo, tak jak żona szwagra i szwagier żony to nie jest ta sama osoba!