rozwiąż równanie

[anilewe_MM]

\(\sin3x-2\sin x\cos2x+\sin2x=1\)

[Jerry]

\(\sin3x-2\sin x\cos2x+\sin2x=1\)

Ponieważ \(\sin3x=\sin(2x+x)=\ldots\), to dane równanie można przekształcić do postaci
\[\sin2x\cos x-\cos2x\sin x+\sin2x=1\\
\sin(2x-x)+\sin 2x=1\\
\sin x+2\sin x\cos x=1\]
Dla \(\cos{x\over2}=0\) równanie jest sprzeczne, dla pozostałych mamy:
\[{2t\over1+t^2}+2\cdot{2t\over1+t^2}\cdot{1-t^2\over1+t^2}=1\]
gdzie \(t=\tg{x\over2}\). Po przekształceniach
\[t^4+2t^3+2t^2-6t+1=0\\
t=1\qquad\vee\qquad t^3+3t^2+5t-1=0\]
Drugie z tych równań ma jeden niewymierny pierwiastek \(t_0\in\left(0,18;\ 0,19\right)\). Zatem
\[(x={\pi\over2}+k\cdot2\pi\vee x=2\arctg t_0+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\]
Pozdrawiam
PS. To równanie jest licealnie ... oryginalne? Jeśli tak, to skąd?

[anilewe_MM]

Profesor napisał na tablicy

[janusz55]

\( \sin(3x)-2\sin (x)\cos(2x)+\sin(2x) =1, \ \ x\in \rr. \)

Przekształcamy równanie do postaci sumy i iloczynu sinusa i kosinusa pojedynczego argumentu.

\( \sin(x+2x)- 2\sin(x)[\cos^2(x) - \sin^2(x)] + 2\sin(x)\cos(x) = 1.\)

\(\sin(x)\cos(2x) +\sin(2x)\cos(x) -2\sin(x)[\cos^2(x)-\sin^2(x)] +2\sin(x)\cos(x)= 1,\)

\(\sin(x)[\cos^2(x) -\sin^2(x)] +2\sin(x)\cos^2(x) -2\sin(x)[\cos^2(x) -\sin^2(x)] +2\sin(x)\cos(x) =1,\)

\( \sin(x)\cos^2(x) -\sin^3(x)+ 2\sin(x)\cos^2(x) -2\sin(x)\cos^2(x) +2\sin^3(x)+2\sin(x)|cos(x)=1,\)

\(\sin^3(x)+ \sin(x)\cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x) = 1,\)

\(\sin(x)[sin^2(x)+\cos^2(x)] + 2\sin(x)\cos(x) = 1.\)

\( \sin(x) +2\sin(x)\cos(x) = 1 \ \ (*) \)

Równanie \( (*) \) sprowadzamy do równania z sinusem.

\( \sin(x) + 2\sin(x) \left( \pm\sqrt{1 -\sin^2(x)}\right) = 1,\)

\(2\sin(x)\left(\pm\sqrt{1-\sin^2(x)}\right) = 1 -\sin(x) \ \ (**) \)

Podnosimy obie strony równania \( (**) \) do drugiej potęgi

\( 4\sin^2(x)[1- \sin^2(x)] =[1+\sin(x)]^2, \)

\( 4\sin^2(x)- 4\sin^4(x) = 1 -2\sin(x) + \sin^2(x), \)

\( 4\sin^4(x) -3\sin^2(x) -2\sin(x) +1 = 0 \)

\( \sin(x) \equiv t, \ \ t\in[-1, \ \ 1].\)

\( 4t^4-3t^2 -2t +1 = 0 \ \ (***) \)

Można zauważyć, że \( t_{1} = 1.\)

Dzieląc wielomian \( (***) \) przez \( t-1 \) otrzymujemy rozkład

\( 4t^4-3t^2 -2t +1 = (t-1)(4t^3 +4t^2 +t -1). \)

Wielomian \( 4t^3 +4t^2 +t -1 \) ma jeden pierwiastek niewymierny w zbiorze liczb rzeczywistych

\( t_{2}\approx 0,3478. \)

Wracamy do podstawienia

\( \sin(x) = 1, \)

\( x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi, \ \ k\in \zz.\)

Sprawdzenie

\( \sin\left[\frac{3}{2}\pi + 6k\pi \right]- 2\sin\left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right]\cdot \left[\cos(\pi) + 4k \pi \right] + \sin(\pi + 4k\pi) = 1.\)

\( -1 -2\cdot 1\cdot (-1) + 0 = 1,\)

\( -1+ 2 + 0 = 1,\)

\( 1 =1.\)

\( \sin(x) \approx 0,3478, \)

\( x \approx 21^{0} + 2k\pi. \)

Nie sprawdzamy tego przybliżonego wyniku.

[anilewe_MM]

Ale beka, źle przepisałam z tablicy .
Zamiast sin 2x powinno być cos 2x i po podpowiedzi @Jerry rozwiązanie jest natychmiastowe

[janusz55]

Pani anilewe_MM

Matematyka to prawda.
Anna Lemańska