Uzasadnienie nierówności. Czy ktoś potrafimi pomóc?

[Balbina-1922]

Niech a, b, c będą liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunki: \(a\ge b\ge c>0\). Uzasadnij, że
\(\frac{a^2-b^2}{c}+\frac{c^2-b^2}{a}+\frac{a^2-c^2}{b}\ge 3a-4b+c\)

[Jerry]

Zauważmy, że dla \(a\ge b\ge c>0\) zachodzą nierówności:

• \(\dfrac{a^2-b^2}{c}-2(a-b)=\ldots=\dfrac{(a-b)[(a-c)+(b-c)]}{c}\ge0\)
• \(\dfrac{c^2-b^2}{a}-2(c-b)=\ldots=\dfrac{(b-c)[(a-b)+(a-c)]}{a}\ge0\)
• \(\dfrac{a^2-c^2}{b}-(a-c)=\ldots=\dfrac{(a-c)[(a-b)+c]}{b}\ge0\)

Dodając liczby nieujemne otrzymamy liczbę nieujemną:
\[\dfrac{a^2-b^2}{c}-2(a-b)+\dfrac{c^2-b^2}{a}-2(c-b)+\dfrac{a^2-c^2}{b}-(a-c)\ge0\\
\dfrac{a^2-b^2}{c}+\dfrac{c^2-b^2}{a}+\dfrac{a^2-c^2}{b}\ge 3a-4b+c\qquad\text{CKD.}\]
Pozdrawiam
PS. Mam nadzieję, że nie jest to zadanie

• pod maturę - analizowałem je kilka wieczorów...
• konkursowe i nie zaliczę warna!

[Balbina-1922]

Serdecznie dziękuję za poświęcony czas i włożony trud w rozwiązanie tego zadania. Sama też spędziłam nad tym zadaniem dużo czasu. Próbowałam rozwiązać je tradycyjnymi (tzn. maturalnymi) sposobami, ale nic mi nie wychodziło. Zadanie jak widać okazało się nietypowe, więc typowe metody zawiodły. Zadanie nie jest maturalne. Lubię sobie wyszukiwać takie perełki i pomęczyć się z nimi trochę, sprawia mi to przyjemność. Z tą nie poradziłam sobie więc jeszcze raz dziękuję i serdecznie pozdrawiam. Balbina