Narysuj portret fazowy równania:
\( \begin{cases} x'=4y+x\\ y'=x-2y \end{cases} \)
Równanie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Równanie
Postać macierzowa układu
\( \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.\)
Macierz układu \( A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}.\)
\( \det A = -6 \neq 0 \) - mamy układ prosty.
Wielomian charakterystyczny macierzy
\( w(\lambda) = \det( A-\lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 4 \\ 1 & -2-\lambda \end{bmatrix} = -(2+\lambda)(1-\lambda)-4 = \lambda^2 +\lambda -6 = (\lambda+3)(\lambda-2) .\)
Mamy przypadek
\( \Delta = 1^2 -4\cdot (-6) = 25 >0.\)
Układ równań sprowadza się do układu
\( \begin{cases} x' = -3x \\ y = 2x \end{cases}, \)
którego rozwiązania wyrażają się wzorami
\( x(t) = c_{1}e^{-3t}, \ \ y(t) = c_{2}e^{2t}.\)
Ponieważ
\( \lambda_{1} = -3 <0 <\lambda_{2} = 3, \)
więc portret fazowy wraz z orbitami przedstawiony jest na rysunku, a punkt krytyczny \( x= 0 \) jest siodłem.
Półosie układu współrzędnych są także orbitami. Po osi \( Ox \) ewolucja odbywa się do punktu krytycznego, a po osi \( Oy \) od punktu krytycznego.
Portret fazowy
\( \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.\)
Macierz układu \( A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}.\)
\( \det A = -6 \neq 0 \) - mamy układ prosty.
Wielomian charakterystyczny macierzy
\( w(\lambda) = \det( A-\lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 4 \\ 1 & -2-\lambda \end{bmatrix} = -(2+\lambda)(1-\lambda)-4 = \lambda^2 +\lambda -6 = (\lambda+3)(\lambda-2) .\)
Mamy przypadek
\( \Delta = 1^2 -4\cdot (-6) = 25 >0.\)
Układ równań sprowadza się do układu
\( \begin{cases} x' = -3x \\ y = 2x \end{cases}, \)
którego rozwiązania wyrażają się wzorami
\( x(t) = c_{1}e^{-3t}, \ \ y(t) = c_{2}e^{2t}.\)
Ponieważ
\( \lambda_{1} = -3 <0 <\lambda_{2} = 3, \)
więc portret fazowy wraz z orbitami przedstawiony jest na rysunku, a punkt krytyczny \( x= 0 \) jest siodłem.
Półosie układu współrzędnych są także orbitami. Po osi \( Ox \) ewolucja odbywa się do punktu krytycznego, a po osi \( Oy \) od punktu krytycznego.
Portret fazowy
- Załączniki
-