Wykaż nierówność

[anilewe_MM]

\( \frac{a+1}{b+1} + \frac{b}{a} >2\) dla \(0<a<b\)

[Jerry]

Redakcja wynikająca z analizy starożytnych:
\[+\underline{\begin{cases}(a-b)^2>0\\ b-a>0\end{cases}}\\
a^2-2ab+b^2+b-a>0\\
a^2+a+b^2+b>2ab+2a\qquad|:(ab+a)\\
\frac{a(a+1)}{a(b+1)}+\frac{b(b+1)}{a(b+1)}>2\\
\frac{a+1}{b+1} + \frac{b}{a} >2\\
\text{CKD}\]
Pozdrawiam

[Jerry]

Albo:

1. \(\frac{a+1}{b+1}>\frac{a}{b}\)
   bo
   \(ab+b>ab+a\\ b>a\)
2. \(\bigwedge\limits_{a\cdot b>0}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\quad\text{i równość dla } a=b\)
   bo
   \(a^2+b^2\ge2ab\\ (a-b)^2\ge0\)
3. Z 1. i 2.:
   \(L_t=\frac{a+1}{b+1}+\frac{b}{a}>\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2=P_T\)

Pozdrawiam

[anilewe_MM]

Redakcja wynikająca z analizy starożytnych:

Nie rozumiem

[Jerry]

Przekształcałem daną nierówność równoważnie do postaci prawdziwej w sposób oczywisty, w dowodzie przekształcenia zapisałem "od tyłu"

Pozdrawiam