forum.zadania.info

Udowodnij zgodnie z definicją:
lim an→∞ (n/n2+1)=0

Korzystając bezpośrednio z definicji granicy ciągu, proszę udowodnić, że granica:

\( \Lim_{n\to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0.\)

\( \Lim_{n\to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0 \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} \left| \frac{n}{n^2+1}\right|<\varepsilon \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} \left| \frac{n}{n^2+1} -0\right|<\varepsilon \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} \left| \frac{n}{n^2}\right|<\varepsilon] \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} \frac{1}{n}<\varepsilon \)
\( \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} ( n > \frac{1}{\varepsilon}).\)

Aby dowieść prawdziwości ostatniego zdania wystarczy za \( k \) przyjąć dowolną liczbę naturalną, taką że \( k> \frac{1}{n}.\)
\( \Box \)

Mogę prosić o wskazówkę, jak dojść do n>1/ε?

Ta nierówność wynika z oszacowania \( n- \) tego wyrazu ciągu:

\( a_{n} = \frac{n}{n^2+1} < \frac{n}{n^2} <\varepsilon \Longleftrightarrow \frac{1}{n} < \varepsilon.\)

Poprawiam pisownię. Dziękuję za odpowiedź janusz555. Nie wiem tylko jak dojść do \( n > \frac{1}{ \varepsilon } \). Będę wdzięczna za pomoc.

Już rozumiem, dziękuję!