Odległość między płaszczyznami
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Odległość między płaszczyznami
Oblicz odległość między dwiema płaszczyznami,które są styczne do elipsoidy s:(x-1)^2/36+y^2/4+(z-3)^2/8=1 i równolegle do płaszczyzny x-2y-2z+3=0
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1566
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 413 razy
Re: Odległość między płaszczyznami
Proszę obliczyć odległość między dwiema płaszczyznami, które są są styczne do elipsoidy \( s: \ \ \frac{(x-1)^2}{36} +\frac{y^2}{4} + \frac{(z-3)^2}{8} = 1\) i równoległe do płaszczyzny \( \pi: \ \ x -2y -2z = 0.\)
Wektor normalny elipsoidy jest równoległy do wektorów prostopadłych płaszczyzn. Wektory prostopadłe płaszczyzn są równoległe do wektora prostopadłego płaszczyzny \( \pi :\)
To oznacza, że:
\( grad \left (s\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} \right) = \lambda \begin{bmatrix} 1\\ -2\\ -2\end{bmatrix}, \ \ \lambda \in \rr. \)
\( \begin{bmatrix} \frac{2(x-1)}{36} \\ \frac{2y}{4} \\ \frac{2(z-3)}{8} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} 1\\ -2\\ -2\end{bmatrix} \)
Stąd
\( \begin{cases} \frac{x-1}{18} = \lambda \\ \frac{y}{2} = -2\lambda \\ \frac{z-3}{4} = -2\lambda, \end{cases} \)
\( \begin{cases} x= 1+18\lambda \\ y = -4\lambda \\ z= 3 -8\lambda. \end{cases} \)
Podstawiając te wartości do równania elipsoidy mamy:
\( \frac{(-18\lambda)^2}{36} + \frac{(-4\lambda)^2}{4} + \frac{(-8\lambda)^2}{8} = 1,\)
\( 9\lambda^2 + 4\lambda^2 +8\lambda^2 = 1, \)
\( 21\lambda^2 = 1, \ \ \lambda_{1} = -\frac{1}{\sqrt{21}}, \ \ \lambda_{2} = \frac{1}{\sqrt{21}}.\)
Współrzędne punktów styczności:
\( (x_{1}, y_{1}, z_{1}) = \left( 1-18\frac{1}{\sqrt{21}} , \frac{4}{\sqrt{21}}, 3+ \frac{8}{\sqrt{21}} \right), \ \ (x_{2}, y_{2}, z_{2}) = \left( 1+18\frac{1}{\sqrt{21}} , -\frac{4}{\sqrt{21}}, 3- \frac{8}{\sqrt{21}} \right). \)
Kwadrat odległości punktów styczności:
\( d^2 = \left( 1+\frac{18}{\sqrt{21}} - 1 + \frac{18}{\sqrt{21}} \right)^2 + \left( -\frac{4}{\sqrt{21}} - \frac{4}{\sqrt{21}}\right)^2 + \left(3- \frac{8}{\sqrt{21}} - 3 - \frac{8}{\sqrt{21}} \right)^2 = \frac{18^2 + (-8)^2+(-16)^2}{21} = \frac{644}{21}.\)
Odległość między płaszczyznami stycznymi do elipsoidy \( s \) i równoległymi do płaszczyzny \( \pi \) wynosi
\( d = \sqrt{\frac{644}{21}}.\)
Wektor normalny elipsoidy jest równoległy do wektorów prostopadłych płaszczyzn. Wektory prostopadłe płaszczyzn są równoległe do wektora prostopadłego płaszczyzny \( \pi :\)
To oznacza, że:
\( grad \left (s\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} \right) = \lambda \begin{bmatrix} 1\\ -2\\ -2\end{bmatrix}, \ \ \lambda \in \rr. \)
\( \begin{bmatrix} \frac{2(x-1)}{36} \\ \frac{2y}{4} \\ \frac{2(z-3)}{8} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} 1\\ -2\\ -2\end{bmatrix} \)
Stąd
\( \begin{cases} \frac{x-1}{18} = \lambda \\ \frac{y}{2} = -2\lambda \\ \frac{z-3}{4} = -2\lambda, \end{cases} \)
\( \begin{cases} x= 1+18\lambda \\ y = -4\lambda \\ z= 3 -8\lambda. \end{cases} \)
Podstawiając te wartości do równania elipsoidy mamy:
\( \frac{(-18\lambda)^2}{36} + \frac{(-4\lambda)^2}{4} + \frac{(-8\lambda)^2}{8} = 1,\)
\( 9\lambda^2 + 4\lambda^2 +8\lambda^2 = 1, \)
\( 21\lambda^2 = 1, \ \ \lambda_{1} = -\frac{1}{\sqrt{21}}, \ \ \lambda_{2} = \frac{1}{\sqrt{21}}.\)
Współrzędne punktów styczności:
\( (x_{1}, y_{1}, z_{1}) = \left( 1-18\frac{1}{\sqrt{21}} , \frac{4}{\sqrt{21}}, 3+ \frac{8}{\sqrt{21}} \right), \ \ (x_{2}, y_{2}, z_{2}) = \left( 1+18\frac{1}{\sqrt{21}} , -\frac{4}{\sqrt{21}}, 3- \frac{8}{\sqrt{21}} \right). \)
Kwadrat odległości punktów styczności:
\( d^2 = \left( 1+\frac{18}{\sqrt{21}} - 1 + \frac{18}{\sqrt{21}} \right)^2 + \left( -\frac{4}{\sqrt{21}} - \frac{4}{\sqrt{21}}\right)^2 + \left(3- \frac{8}{\sqrt{21}} - 3 - \frac{8}{\sqrt{21}} \right)^2 = \frac{18^2 + (-8)^2+(-16)^2}{21} = \frac{644}{21}.\)
Odległość między płaszczyznami stycznymi do elipsoidy \( s \) i równoległymi do płaszczyzny \( \pi \) wynosi
\( d = \sqrt{\frac{644}{21}}.\)
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Odległość między płaszczyznami
Teza:
Odległość między równoległymi płaszczyznami stycznymi do elipsoidy jest równa odległości między punktami styczności'' w ogólności nie jest prawdziwa.
Akurat dla tej są tylko 3 pary punktów ją spełniających.
Pozostaje policzyć prawdziwą odległość, ale to już autor pewnie potrafi zrobić (skoro zna punkty styczności)