Dowód - czworokąt wpisany w okrąg

[arcoin]

Niech dany będzie czworokąt ABCD wpisany w okrąg o promieniu r. Punkty \(A_1\) ,\(B_1\) ,\(C_1\) ,\(D_1\) oznaczają odpowiednio środki łuków AB, BC, CD, DA. Udowodnij, że:
|(\(A_1\) \(D_1\))|\(^{2}\) + |(\(B_1\) \(C_1\))|\(^{2}\) = \(4r^{2}\)

[Jerry]

Zrób schludny rysunek (niech \(S\) będzie środkiem okręgu) i zauważ/wykaż (z bilansu czterech par kątów środkowych), że
\[|\angle A_1SD_1|+|\angle B_1SC_1| =180^\circ\]
czyli
\[\cos\angle A_1SD_1+\cos\angle B_1SC_1=0\]
Z trójkątów \(A_1SD_1,\ B_1SC_1\) i wzoru kosinusów:
\[\underline{+\begin{cases}|A_1D_1|^2=r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot\cos\angle A_1SD_1\\|B_1C_1|^2=r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot\cos\angle B_1SC_1\end{cases}}\\|A_1D_1|^2+|B_1C_1|^2=4r^2-2r^2(\cos\angle A_1SD_1+\cos\angle B_1SC_1)\\|A_1D_1|^2+|B_1C_1|^2=4r^2\\ \text{CKD}\]
Pozdrawiam

[kalo89]

możesz wysłać skan swojego rysynku?

[Jerry]

Pozdrawiam

[kalo89]

A prawdą jest źe istnieje taka zależność pomiędzy kątamu?
\( \alpha =\beta= \delta \)

[Jerry]

W tym zadaniu, przy tych oznaczeniach - nie!

Pozdrawiam

[kalo89]

A to jak to udowodnić/wykazać?
\[|\angle A_1SD_1|+|\angle B_1SC_1| =180^\circ\]

[Jerry]

Z bilansu kątów o wierzchołku \(S\):
\[2\alpha+2\beta+2\gamma+2\delta=360^\circ\qquad|:2\\
(\delta+\alpha)+(\beta+\gamma)=180^\circ\\
|\angle A_1SD_1|+|\angle B_1SC_1| =180^\circ\]
Pozdrawiam

[arcoin]

Chciałbym zapytać skąd się to wzięło \[\cos\angle A_1SD_1+\cos\angle B_1SC_1=0\] i co dokładnie oznacza

[Jerry]

Jeśli
\[\alpha+\beta=180^\circ\]
to
\[\cos\beta=\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\]
i
\[\cos\alpha+\cos\beta=\cos\alpha+(-\cos\alpha)=0\]
Pozdrawiam