Równania trygonometryczne

[Maciek32]

Rozwiąż
1. \( 1-2\cos2x^2-\cos2x=0 \)
2. \(-\cos4x-\cos2x=0\)
3. \(6\cos^2x-8\cos^4x=0\)

[Maciek32]

Pierwsze równanie oczywiście wyglada tak: \(1-2\cos^22x-\cos2x=0
\)

[eresh]

Rozwiąż

3. \(6\cos^2x-8\cos^4x=0\)

\(6\cos^2x-8\cos^4x=0\\
2\cos^2x(3-4\cos^2x)=0\\
\cos^2x=0\;\;\;4\cos^2x=3\\
\cos x=0\;\;\;\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\;\;\;\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\
x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\;\;x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\;x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\;x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\;\;\;\x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\)

[eresh]

Rozwiąż

2. \(-\cos4x-\cos2x=0\)

\(-\cos 4x-\cos 2x=0\\
\cos 4x+\cos 2x=0\\
2\cos^22x-1+\cos 2x=0\\
\cos 2x=t, t\in [-1,1]\\
2t^2+t-1=0\\
t=-1\;\;\;t=\frac{1}{2}
\cos 2x=-1\;\;\;\vee\;\;\;\cos 2x=\frac{1}{2}\\
2x=\pi+2k\pi\;\;\;\vee\;\;\;2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\;\;\;2x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\;\;\vee\;\;\;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\;\;\;x=\frac{-\pi}{6}+k\pi\)

[eresh]

Pierwsze równanie oczywiście wyglada tak: \(1-2\cos^22x-\cos2x=0
\)

\(1-2\cos^22x-\cos2x=0\\
-2\cos^22x-\cos 2x+1=0\\
2\cos^22x+\cos 2x-1=0\)

\(2\cos^22x-1+\cos 2x=0\\
\cos 2x=t, t\in [-1,1]\\
2t^2+t-1=0\\
t=-1\;\;\;t=\frac{1}{2}
\cos 2x=-1\;\;\;\vee\;\;\;\cos 2x=\frac{1}{2}\\
2x=\pi+2k\pi\;\;\;\vee\;\;\;2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\;\;\;2x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\;\;\vee\;\;\;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\;\;\;x=\frac{-\pi}{6}+k\pi\)