forum.zadania.info

Wewnątrz trójkąta ABC wybrano dowolny punkt M, przez który poprowadzono proste równoległe do jego boków.
Proste te podzieliły trójkąt ABC na sześć części, z których trzy są trójkątami. Niech r1, r2,
r3 będą promieniami okręgów wpisanych w powstałe trójkąty,
a r promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Wykaż, że r = r1 + r2 + r3

Po narysowaniu rysunku, wyszło mi, że wszystkie te trójkąty są do siebie podobne z cechy KKK, i to że pewnie należy wykorzystać wzór P = p * r

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, z szybkimi wnioskami dotyczącymi długości odcinków,: Zauważyłeś podobieństwo trójkątów - zachodzi ciąg równości:
\[{r_1\over c_1}={r_2\over c_2}={r_3\over c_3}={r\over c}=\text{const}=z>0\]
czyli:
\[c_1={r_1\over z}\wedge c_2={r_2\over z}\wedge c_3={r_3\over z}\wedge c={r\over z}\]
Wobec
\[c_1+c_2+c_3=c\]
mamy
\[{r_1\over z}+{r_2\over z}+{r_3\over z}={r\over z}\qquad|\cdot z\\
r_1+r_2+r_3=r\quad \text{CKD}\]
Pozdrawiam

Jeśli rozwiążę w maju zadania z geometrii, to tylko dzięki czytaniu wiadomości z tego forum