Kowariancja zmiennych losowych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Kowariancja zmiennych losowych
Znaleźć dwie zmienne losowe, których kowariancja jest równa zero, lecz zmienne te nie są niezależne.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1585
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 416 razy
Re: Kowariancja zmiennych losowych
Niech dane są zmienne losowe: \( X \sim \mathcal{U}(-1, 1) \) i \( Y = X^2. \)
Stąd
\( E(X) = \frac{b+a}{2} = \frac{1-1}{2} = 0.\)
\( f_{U}(x) = \frac{1}{b-a} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \)
\( E(Y)= E(X^2) = \int_{1}^{1} x^2\cdot \frac{1}{2} = \left[\frac{x^3}{6}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{6}+\frac{1}{6} = \frac{1}{3}.\)
\( E(XY) = E(X^3) = \int_{-1}^{1}x^3\cdot \frac{1}{2} = \left[\frac{x^4}{8}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{8}- \frac{1}{8} = 0.\)
\( Cov( X,Y) = E(XY) -E(X)\cdot E(Y) = E(X^3)- E(X)\cdot E(Y) = 0 - 0\cdot \frac{1}{3} = 0.\)
Zmienna losowa \( Y = X^2 \) jest funkcją zmiennej losowej \( X \) i zmienne losowe \( X, Y \)nie są niezależne.
Stąd
\( E(X) = \frac{b+a}{2} = \frac{1-1}{2} = 0.\)
\( f_{U}(x) = \frac{1}{b-a} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \)
\( E(Y)= E(X^2) = \int_{1}^{1} x^2\cdot \frac{1}{2} = \left[\frac{x^3}{6}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{6}+\frac{1}{6} = \frac{1}{3}.\)
\( E(XY) = E(X^3) = \int_{-1}^{1}x^3\cdot \frac{1}{2} = \left[\frac{x^4}{8}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{8}- \frac{1}{8} = 0.\)
\( Cov( X,Y) = E(XY) -E(X)\cdot E(Y) = E(X^3)- E(X)\cdot E(Y) = 0 - 0\cdot \frac{1}{3} = 0.\)
Zmienna losowa \( Y = X^2 \) jest funkcją zmiennej losowej \( X \) i zmienne losowe \( X, Y \)nie są niezależne.