forum.zadania.info

Policz granicę funkcji
\( \Lim_{x\to a} =\frac{x^n-a^n}{x^m-a^m} \)

Elementarnie (dołącz założenia!):
\[\Lim_{x\to a} \frac{x^n-a^n}{x^m-a^m} =\Lim_{x\to a} \frac{(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\ldots+xa^{n-2}+a^{n-1})}{(x-a)(x^{m-1}+x^{m-2}a+\ldots+xa^{m-2}+a^{m-1})} =\frac{\color{red}{n}a^{n-1}}{\color{red}{m}a^{m-1}}=\frac{n}{m}a^{n-m}\]
Z reguły de l'Hospitala - szybciej...

Pozdrawiam

[edited] poprawka po poniższym - sypnąłem babola przy przeliczaniu liczb składników sum w nawiasach

Jerry pisze: ↑27 gru 2023, 10:44 Elementarnie (dołącz założenia!):
\[\Lim_{x\to a} \frac{x^n-a^n}{x^m-a^m} =\Lim_{x\to a} \frac{(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\ldots+xa^{n-2}+a^{n-1})}{(x-a)(x^{m-1}+x^{m-2}a+\ldots+xa^{m-2}+a^{m-1})} =\frac{(n-1)a^{n-1}}{(m-1)a^{m-1}}=\frac{n-1}{m-1}a^{n-m}\]
Z reguły de l'Hospitala - szybciej...

Jednak przeliczyłbym to jeszcze z de l'Hospitala.
Tak dla pewności

Proponuję drugie założenie:

\( m \geq n \) i policzenie granicy z rozkładu dwumianów jak wyżej.

Reguła de'Hospitala potrzebuje też tych dwóch założeń.

\( \Lim_{x\to a} \frac{x^{n} - a^{n}}{x^{m}- a^{m}}, \ \ a>0. \)

Podstawienie: \( x-a = t, \)

\( \Lim_{x\to a} \frac{x^{n} - a^{n}}{x^{m}- a^{m}} = \Lim_{t \to 0} a^{n-m} \frac{\left(1 + \frac{t}{a}\right)^{n} -1}{\left(1+ \frac{t}{a}\right)^{m} -1} = a^{n-m} \Lim_{t\to 0} \frac{n\cdot \frac{t}{a} + o(t)}{m \cdot \frac{t}{a} + o(t)} = \frac{n}{m} a^{n-m}. \)

\( \Lim_{x\to a} \frac{x^{n} - a^{n}}{x^{m} - a^{m}} = \left[\frac{0}{0}\right] \stackrel{H} = \Lim_{x\to a} \frac{n x^{n-1}}{mx^{m-1}} = \frac{n}{m} a^{n-1-m+1} = \frac{n}{m}a^{n-m}.\)

Icanseepeace: dziękuję za wnikliwość!

Pozdrawiam
PS. Poprawiłem...