Dziedzina z parametrem

[anilewe_MM]

Dla jakich m dziedzina funkcji \(y=\sqrt{3x^4-4x^3+6x^2-12x+m}\) jest rzeczywista?

[Icanseepeace]

\( 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x + m = (x-1)^4 + 2(x^2 - 1)^2 + 4(x-1)^2 + m - 7 \)
Wystarczy aby
\( m \geq 7 \)
Można też użyć pochodnej -> Wszystkie ekstrema muszą być dodatnie.

[Jerry]

Wszystkie ekstrema muszą być dodatnie.

Raczej nieujemne!

Pobawiłem się pochodną - liczy się bardzo fajnie. Jest jedno ekstremum: \(\begin{cases}x=1\\y_\min=m-7\end{cases}\).
Wtedy przyszło mi do głowy:
\(w(x)=3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x + m=(x-1)^2(3x^2+2x+7)+m-7\ge m-7\)
bo wyróżnik trójmianu w drugim nawiasie jest ujemny. Czyli, aby \(D=\rr\), musi \(m-7\ge0\).

Pozdrawiam

[Icanseepeace]

Wszystkie ekstrema muszą być dodatnie.

Raczej nieujemne!

Trafna sugestia, tak nieujemne.
Skoro już poruszyłeś temat to pozwolę sobie trochę doprecyzować moje stwierdzenie.
Sam fakt, że pewna funkcja g. Posiada wszystkie ekstrema dodatnie, wcale nie musi oznaczać, że ta funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie:
\( g(x) = 1 - x^4 \)
Dlatego poza wyznaczeniem ekstremum jest również do zrobienia (niestety) podstawowy przebieg zmienności funkcji.
Precyzuję ponieważ moje stwierdzenie "Wszystkie ekstrema muszą być dodatnie" może być trochę mylące.
Niezbędny jest również do przeprowadzenia przebieg zmienności (wystarczy monotoniczność)

[anilewe_MM]

@Icanseepeace: jak się znajduje taką postać wielomianu? Ja bym na to nie wpadła!

[Icanseepeace]

@Icanseepeace: jak się znajduje taką postać wielomianu? Ja bym na to nie wpadła!

Skojarzyłem współczynniki -4 , 6 z pewnym rzędem trójkąta Pascala i potem trochę szczęściem reszta też się pozwijała.
Taki rozkład nie zawsze jest łatwo znaleźć. Dlatego:
Proponuję też abyś rozwiązała to zadanie metodą z pochodną.
Metoda jest bardziej schematyczna i pewnie pod nią są układane zadania na maturze.
Tak jak wspomniał Jerry, przyjemnie się liczy.