forum.zadania.info

\( \Lim_{x\to x_0} \frac{ \sqrt{\sin x}- \sqrt{\sin x_0}}{x-x_0} \)

Jak to zrobić bez hospitala?

Lipus pisze: ↑09 gru 2023, 00:26 lim x->x_0
\( \frac{ \sqrt{sinx}- \sqrt{sinx_0} }{x-x_0} \)
Jak to zrobić bez hospitala?

Przypuszczam , ze miało być tak:
\( \Lim_{x\to x_0} \frac{ \sqrt{\sin x}- \sqrt{\sin x_0}}{x-x_0} \)
Podpowiedź: pomnóż licznik i mianownik przez \( \sqrt{\sin x} +\sqrt{\sin x_0}\)

Tak robiłem tam ale nie prowadzi mnie to do końca rozwiązania chyba że czegoś nie widze

Zastosuj w liczniku wzór na \( \sin(x) - \sin(x_{0})= \ \ ...\)

Zgodnie z hintami radagast i janusz55:
\[ \Lim_{x\to x_0} \frac{ \sqrt{\sin x}- \sqrt{\sin x_0}}{x-x_0} = \Lim_{x\to x_0} \frac{ \sin x- \sin x_0}{(x-x_0)(\sqrt{\sin x}+ \sqrt{\sin x_0})} =\\
=\Lim_{{x- x_0\over2}\to0} \frac{ \sin {x- x_0\over2}}{{x- x_0\over2}} \cdot\frac{ \cos{x+ x_0\over2}}{(\sqrt{\sin x}+ \sqrt{\sin x_0})} =1\cdot\frac{\cos x_0}{2\sqrt{\sin x_0}}\]
Pozdrawiam