wykaż że ciąg jest zbieżny
\(a_n= \frac{1}{e+1}+ \frac{1}{e^2+2}+ \ldots + \frac{1}{e^n+n} \)
wychodzi że jest rosnący i ograniczony, ale nie rozumiem dlaczego rosnący skoro każdy następny wyraz tego ciągu jest mniejszy, ponieważ mianowniki są coraz większe, proszę o pomoc
ciąg zbieżny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: ciąg zbieżny
\( a_{n+1} = \frac{1}{e + 1} + \ldots + \frac{1}{e^n + n} + \frac{1}{e^{n+1} + n+1} = a_n + \frac{1}{e^{n+1} + n+1} > a_n \)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: ciąg zbieżny
Wg mnie wystarczy
\(a_n= \frac{1}{e+1}+ \frac{1}{e^2+2}+ \ldots + \frac{1}{e^n+n}<\frac{1}{e}+ \frac{1}{e^2}+ \ldots + \frac{1}{e^n}\nad{n\to+\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{e-1}\)
Pozdrawiam
\(a_n= \frac{1}{e+1}+ \frac{1}{e^2+2}+ \ldots + \frac{1}{e^n+n}<\frac{1}{e}+ \frac{1}{e^2}+ \ldots + \frac{1}{e^n}\nad{n\to+\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{e-1}\)
Pozdrawiam
-
- Fachowiec
- Posty: 1626
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: ciąg zbieżny
Monotoniczność
\( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{1}{e+1} + \frac{1}{e^2+2}+ \ldots + \frac{1}{e^{n}+n} + \frac{1}{e^{n+1} +n+1}}{\frac{1}{e+1}+ \frac{1}{e^2+2}+ \ldots + \frac{1}{e^{n}+n}} = 1 +\frac{ \frac{1}{e^{n+1}+n+1}}{a_{n}} >1 \) dla każdego \( n \in \nn. \)
Ciąg \( (a_{n}) = \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{e^{k}+ k}\right) \) jest ciągiem rosnącym.
Ograniczoność
\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{e^{k} + 1} < \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{e^{k}}\right) < \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{e^{k}} = \frac{\frac{1}{e}}{1 -\frac{1}{e}} = \frac{1}{e-1}. \)
Ciąg \( (a_{n}) jest zbieżny.\)
\( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{1}{e+1} + \frac{1}{e^2+2}+ \ldots + \frac{1}{e^{n}+n} + \frac{1}{e^{n+1} +n+1}}{\frac{1}{e+1}+ \frac{1}{e^2+2}+ \ldots + \frac{1}{e^{n}+n}} = 1 +\frac{ \frac{1}{e^{n+1}+n+1}}{a_{n}} >1 \) dla każdego \( n \in \nn. \)
Ciąg \( (a_{n}) = \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{e^{k}+ k}\right) \) jest ciągiem rosnącym.
Ograniczoność
\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{e^{k} + 1} < \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{e^{k}}\right) < \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{e^{k}} = \frac{\frac{1}{e}}{1 -\frac{1}{e}} = \frac{1}{e-1}. \)
Ciąg \( (a_{n}) jest zbieżny.\)