granica z parametrem

[crybe]

Dla jakiego parametru p spełnione jest równanie
\(\Lim_{k \to +\infty } \dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}}=2\)

Dziękuję!

[Jerry]

Ponieważ
\(\Lim_{k \to +\infty } \dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}} =
\Lim_{k \to +\infty } \dfrac{\left({2\over5}\right) ^{k}\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+\left({9\over25}\right)^{k}\cdot9^{-p}}} =
\dfrac{0\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+0\cdot9^{-p}}} = 5^{p-1} \)
to wystarczy rozwiązać równanie
\(5^{p-1} =2\\ 5^p=10\\ p=\log_510\)
Pozdrawiam

[janusz55]

\( \lim_{x\to \infty} \frac{2^{x-3p} + 5^{x+p}}{\sqrt{25^{x+1} +9^{x-p}}} = 2.\)

Proszę wyłączyć z licznika i mianownika największy składnik w potędze \( 5^{x} \) i przejść do granicy \( x\to \infty.\)

Proponuję używać w \( \LaTeX \) do określenia nieskończoności symbolu \( \infty \) zamiast \( \propto \), chociaż coraz częściej ten symbol zastępuje nieskończoność.

[Maciek32]

Możesz wytłumaczyć skąd się biorą takie zmiany w wyrażeniech w liczniku w liczniku i w mianowniku?

\(\lim_{k \to +\infty } \dfrac{\left({2\over5}\right) ^{k}\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+\left({9\over25}\right)^{k}\cdot9^{-p}}}\)

[Jerry]

\( \dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}} =
\dfrac{\dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{5^k}}{\dfrac{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}}{5^k}} =
\dfrac{\dfrac{2 ^{k}\cdot5^{-3p}}{5^k} +\dfrac{5^{k+p}}{5^k}}{\sqrt{\dfrac{25^{k+1}}{25^k}+\dfrac{9^{k}\cdot9^{-p}}{25^k}}} = \dfrac{\left({2\over5}\right) ^{k}\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+\left({9\over25}\right)^{k}\cdot9^{-p}}} \)

Pozdrawiam

[Maciek32]

A dlaczego dzielisz przez \(5^k\)?

[Jerry]

Bo to wynika z moich doświadczeń z innymi granicami (zbieżność podciągów do zera) i prowadzi do celu!

Pozdrawiam