Dowodzenie - wielomiany

[ania578]

cześć, czy mógłby ktoś pomóc?
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej n, 9n⁵-5n³-4n jest podzielne przez 120.

[Jerry]

Ponieważ

1. \(120=3\cdot8\cdot5\)
2. \(w(n)=9n^5-5n^3-4n=(n-1)\cdot n\cdot(n+1)\cdot(9n^2+4)\)

oraz

1. \(3\) dzieli jeden z czynników: \(n-1,\ n,\ n+1\), zatem \(3\mid w(n)\) dla każdego \(n\in\zz\)
2. • jeśli \(2\mid n\), to \(4\mid(9n^2+4)\)
   • jeśli \(2\nmid n\), to jeden z czynników: \(n-1,\ n+1\) jest parzysty a drugi podzielny przez \(4\)
   zatem \(8\mid w(n)\) dla każdego \(n\in\zz\)
3. • jeśli \(n\) dzieli się przez \(5\) albo dzieli się przez \(5\) z resztą \(1,\ 4\) to jeden z czynników \(n-1,\ n,\ n+1\) jest podzielny przez \(5\)
   • jeśli \(n=5k+2\), gdzie \(k\in\zz\), to \(9n^2+4=5(45k^2+18k+8)\), czyli dzieli się przez \(5\)
   • jeśli \(n=5k+3\), gdzie \(k\in\zz\), to \(9n^2+4=5(45k^2+27k+17)\), czyli dzieli się przez \(5\)
   zatem \(5\mid w(n)\) dla każdego \(n\in\zz\)

to \(120\mid w(n)\) dla każdego \(n\in\zz\).

Pozdrawiam