Rozwiąż równanie

[anilewe_MM]

\(15^{\log_53}*x^{\log_5(9x)+1}=1\)

[Jerry]

Znowu z misiowej półeczki ?
Niech

• \(\log_53=a\approx{11\over16}\iff 5^a=3\)
• \(\log_5x=t\iff x=5^t\wedge(x\in\rr_+\wedge t\in\rr)\)

wtedy

• \(15^{\log_53}=\left(5^{\log_515}\right)^{\log_53}=\ldots=5^{a+a^2}\)
• \(\log_59x=\ldots=2a+t\)

i równanie przyjmie postać
\[5^{a+a^2}\cdot\left(5^t\right)^{2a+t+1}=1\\
5^{a+a^2+2at+t^2+t}=5^0\]
Wobec różnowartościowości funkcji wykładniczej o podstawie rożnej od jedności
\[t^2+(2a+1)t+a^2+a=0\\\ldots\\ t=-a-1\vee t=-a\\
x=5^{-a-1}=\left(5^a\cdot5\right)^{-1}=(3\cdot5)^{-1}={1\over15}\vee x=5^{-a}=\left(5^a\right)^{-1}={1\over3}\]
Pozdrawiam
PS. Symbol mnożenia to \cdot

[anilewe_MM]

Skomplikowane, ale ogarniam

• \(\log_53=a\approx{11\over16}\)

Skąd to?

[Jerry]

Z kalkulatora prostego:
\[\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt5}}}^{11}=1,1058229^{11}=3,0237176\]
Pozdrawiam