Zadanie teoria liczb, dzielenie całkowite, iloraz, reszta, podłoga
: 07 paź 2023, 17:40
Witam
mam do rozwiązania zadanie:
Próbuję rozwiązać zadanie: Pokazać, że jeśli a i b, (b<a) są liczbami naturalnymi, to
\({ \left[ \frac{a}{b} \right] }\)
jest ilorazem, natomiast
\(\displaystyle{ a-\left[ \frac{a}{b}\right] *b }\)
jest resztą z dzielenia.
1.
\({ a=q*b+r}\)
\({ a= \left[ \frac{a}{b}\right] * b +a-\left[ \frac{a}{b}\right] *b }\)
\({ a=a}\)
Mam pytanie czy w ten sposób mogę rozwiązać to zadanie. Czy jest to rozwiązanie prawidłowe?
2)
z definicji dzielenia całkowitego wiadomo, że \({ 0 \le r<b}\)
\({ 0 \le a-\left[ \frac{a}{b} \right]*b <b}\)
\({ b*\left[ \frac{a}{b} \right] \le a<b*\left[ \frac{a}{b} \right]+b }\)
\({ \left[ \frac{a}{b} \right] \le \frac{a}{b} <\left[ \frac{a}{b} \right]+1 }\)
czyli \({ \left[ \frac{a}{b} \right]}\) spełnia własności podłogi czyli jest częścią całkowitą dzielenia.
Mam pytanie czy ten sposób jest poprawny i też jest rozwiązaniem zadania.
3)
Czy można to zadanie udowodnić w tym równaniu \({ a=q*b+r}\) podstawiając za q
\({ \frac{a}{b}-r =q}\) czyli rozwiązać równanie \({ a=(\frac{a}{b}-r)*b + r}\)
mam do rozwiązania zadanie:
Próbuję rozwiązać zadanie: Pokazać, że jeśli a i b, (b<a) są liczbami naturalnymi, to
\({ \left[ \frac{a}{b} \right] }\)
jest ilorazem, natomiast
\(\displaystyle{ a-\left[ \frac{a}{b}\right] *b }\)
jest resztą z dzielenia.
1.
\({ a=q*b+r}\)
\({ a= \left[ \frac{a}{b}\right] * b +a-\left[ \frac{a}{b}\right] *b }\)
\({ a=a}\)
Mam pytanie czy w ten sposób mogę rozwiązać to zadanie. Czy jest to rozwiązanie prawidłowe?
2)
z definicji dzielenia całkowitego wiadomo, że \({ 0 \le r<b}\)
\({ 0 \le a-\left[ \frac{a}{b} \right]*b <b}\)
\({ b*\left[ \frac{a}{b} \right] \le a<b*\left[ \frac{a}{b} \right]+b }\)
\({ \left[ \frac{a}{b} \right] \le \frac{a}{b} <\left[ \frac{a}{b} \right]+1 }\)
czyli \({ \left[ \frac{a}{b} \right]}\) spełnia własności podłogi czyli jest częścią całkowitą dzielenia.
Mam pytanie czy ten sposób jest poprawny i też jest rozwiązaniem zadania.
3)
Czy można to zadanie udowodnić w tym równaniu \({ a=q*b+r}\) podstawiając za q
\({ \frac{a}{b}-r =q}\) czyli rozwiązać równanie \({ a=(\frac{a}{b}-r)*b + r}\)