Zbadać ilość rozwiązań w zależności od parametru m
\( \frac{x^2}{|x|-1}=|m| \)
nie chodzi mnie o metodę rysowania wykresów i robienia tzw "windy".
Zbadać ilość rozwiązań
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Re: Zbadać ilość rozwiązań
Doszedłem do czegoś takiego \(x^{2}-\left|m\right|\cdot\left(\left|x\right|-1\right)=0\) czyli \(x^2-|m||x|+m=0\) i z tego delta to \( \Delta =m^2-4m\). Czy to jest dobrze czy jest coś łatwiejszego i szybszego?
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: Zbadać ilość rozwiązań
Trzeba rozważyć przypadki:
1.\(|x|-1\neq 0\) oraz \(|x|-1>0\) oraz \(x=0\) - wtedy mamy do czynienia z równaniem kwadratowym.
2. \(|x|-1\leq 0\;\;\wedge x\neq 0
\) - wtedy równanie jest sprzeczne
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- Jerry
- Expert
- Posty: 3532
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1938 razy
Re: Zbadać ilość rozwiązań
Po PW:
Zauważmy, że równanie
\[\frac{x^2}{|x|-1}=|m|\qquad(*)\]
\[\frac{t^2}{t-1}=p\text{ , gdzie } |x|=t>1\wedge |m|=p>0\]
które jest równoważne
\[t^2-pt+p=0\qquad(**)\]
Pozdrawiam
PS. Czemu nie podoba Ci się "winda" Idzie szybciej i trudniej się pomylić
Wg mnie można, przepraszam eresh, tak:
Zauważmy, że równanie
\[\frac{x^2}{|x|-1}=|m|\qquad(*)\]
- dla \(m=0\So x=0\), czyli ma jeden pierwiastek
- dla \(x\in[-1;1]\) równanie nie istnieje albo jest sprzeczne - równość liczby ujemnej i nieujemnej nie zachodzi
\[\frac{t^2}{t-1}=p\text{ , gdzie } |x|=t>1\wedge |m|=p>0\]
które jest równoważne
\[t^2-pt+p=0\qquad(**)\]
- Jeżeli równanie \((**)\) ma dwa rozwiązania większe od \(1\), to równanie \((*)\) ma cztery rozwiązania:
\[\begin{cases}p^2-4p>0\\ (t_1-1)(t_2-1)>0\\(t_1-1)+(t_2-1)>0\end{cases}\] - Jeżeli równanie \((**)\) ma jedno rozwiązanie większe od \(1\), to równanie \((*)\) ma dwa rozwiązania:
\[\begin{cases}p^2-4p=0\\ t_0>1\end{cases}\vee\begin{cases}p^2-4p>0\\ (t_1-1)(t_2-1)\le0\\(t_1-1)+(t_2-1)>0\end{cases}\] - Jeżeli równanie \((**)\) ma nie ma rozwiązań albo wszystkie niewiększe od \(1\), to równanie \((*)\) nie ma rozwiązań:
\[p^2-4p<0\vee \begin{cases}p^2-4p\ge0\\ (t_1-1)(t_2-1)\ge0\\(t_1-1)+(t_2-1)\le0\end{cases}\]
Pozdrawiam
PS. Czemu nie podoba Ci się "winda" Idzie szybciej i trudniej się pomylić
- Jerry
- Expert
- Posty: 3532
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1938 razy
Re: Zbadać ilość rozwiązań
Najprościej:
wykorzystując Desmos;
uczenie:
zauważając (i wykorzystując na końcu) parzystość funkcji lewej strony równania - rozpatrzeć funkcję:
\(y=f(x)=\frac{x^2}{x-1}\) określoną dla \(x\in[0;1)\cup(1;+\infty)\)
i
wykorzystując Desmos;
uczenie:
zauważając (i wykorzystując na końcu) parzystość funkcji lewej strony równania - rozpatrzeć funkcję:
\(y=f(x)=\frac{x^2}{x-1}\) określoną dla \(x\in[0;1)\cup(1;+\infty)\)
i
- granice w kresach przedziałów określoności
- pochodna
- warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremów; przedziały monotoniczności
- szkic wykresu
- odbić symetrycznie względem osi rzędnych
- Jerry
- Expert
- Posty: 3532
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1938 razy
Re: Zbadać ilość rozwiązań
Jeśli to pytanie do mnie, to:
- \(f(0)=0\\ \Lim_{x\to1^-}\frac{x^2}{x-1}=-\infty\\\Lim_{x\to1^+}\frac{x^2}{x-1}=+\infty\\ \Lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{x-1}=+\infty\)
- \(y'=f'(x)=\frac{x}{(x-1)^2}\cdot(x-2)\wedge D'=(0;1)\cup(1;+\infty)\)
- WKIE: \(y'=0\iff x=2\)
WDIE: \(f\searrow(0;1)\wedge f\searrow(1;2]\wedge f\nearrow[2;+\infty)\)
\(\qquad\begin{cases}x=0\\y_\max=0\end{cases}\quad\vee\quad\begin{cases}x=2\\y_\min=f(2)=4\end{cases}\) - szkic wykresu i odbicie symetrycznie względem osi rzędnych - pod linkiem w poprzednim poście