forum.zadania.info

Ciąg (\(a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) opisany jest rekurencyjnie:

\( \begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}=a_n(n+1)\end{cases} \)

Znajdź wzór ogólny ciągu (\(a_n)_{n \in \mathbb{N}}\).

Dzięki a możesz rozpisać?

mosdef21 pisze: ↑07 sie 2023, 13:49 Dzięki a możesz rozpisać?

\[
a_{1}=1\\
a_{2}=2\\
a_{3}=6\\
a_{4}=24\\
a_{5}=120\\
\to a_{n}=n!\\
Zależność:\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=n+1\\
Sprawdzenie: L=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n!(n+1)}{n!}=n+1=P\\
\to a_{n}=n!\\
\square

\]

A da się to zrobić bardziej elementarnie z obliczeniami a nie na oko bo ja np. nie zauważyłem tej zależności miedzy kolejnymi wyrazami

Co to znaczy bardziej elementarnie?

Są trzy metody rozwiązania zadania.
1.
Można przeprowadzić dowód metodą indukcji zupełnej tego równania rekurencyjnego.
2.
Można znaleźć wzór dla \( n - \) elementowych permutacji za pomocą funkcji tworzących.
3.
Można rozwiązać ten problem z warunkami początkowymi jako równanie rekurencyjne (różnicowe).

janusz55 pisze: ↑07 sie 2023, 18:07
Są trzy metody rozwiązania zadania. (...)

Och metod jest więcej i to znacznie prostszych.
Najpopularniejszą i najprostszą jest wrzucenie zadania na kilka forów matematycznych i grup facebookowych, a rozwiązanie (a nawet kilka różnych rozwiązań) prędzej czy później się pojawi.
Ambitniejsi wyliczają kilka początkowych wyrazów i wpisują je w OEIS. Np: https://oeis.org/search?q=1%2C2%2C6%2C2 ... &go=Search
Brak ciągu w OEIS i odpowiedzi na forach oznacza nierozwiązywalność zadania (QED).