Ciąg określony rekurencyjnie

[mosdef21]

Ciąg (\(a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) opisany jest rekurencyjnie:

\( \begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}=a_n(n+1)\end{cases} \)

Znajdź wzór ogólny ciągu (\(a_n)_{n \in \mathbb{N}}\).

[kerajs]

\(a_n=n!\)

[mosdef21]

Dzięki a możesz rozpisać?

[szymonzbir]

Dzięki a możesz rozpisać?

\[
a_{1}=1\\
a_{2}=2\\
a_{3}=6\\
a_{4}=24\\
a_{5}=120\\
\to a_{n}=n!\\
Zależność:\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=n+1\\
Sprawdzenie: L=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n!(n+1)}{n!}=n+1=P\\
\to a_{n}=n!\\
\square

\]

[mosdef21]

A da się to zrobić bardziej elementarnie z obliczeniami a nie na oko bo ja np. nie zauważyłem tej zależności miedzy kolejnymi wyrazami

[janusz55]

Co to znaczy bardziej elementarnie?

Są trzy metody rozwiązania zadania.
1.
Można przeprowadzić dowód metodą indukcji zupełnej tego równania rekurencyjnego.
2.
Można znaleźć wzór dla \( n - \) elementowych permutacji za pomocą funkcji tworzących.
3.
Można rozwiązać ten problem z warunkami początkowymi jako równanie rekurencyjne (różnicowe).

[kerajs]

Są trzy metody rozwiązania zadania. (...)

Och metod jest więcej i to znacznie prostszych.
Najpopularniejszą i najprostszą jest wrzucenie zadania na kilka forów matematycznych i grup facebookowych, a rozwiązanie (a nawet kilka różnych rozwiązań) prędzej czy później się pojawi.
Ambitniejsi wyliczają kilka początkowych wyrazów i wpisują je w OEIS. Np: https://oeis.org/search?q=1%2C2%2C6%2C2 ... &go=Search
Brak ciągu w OEIS i odpowiedzi na forach oznacza nierozwiązywalność zadania (QED).