Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem

[mosdef21]

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p, \ p \in \mathbb{R}\), dla których równanie \(|(x-2)(x-4)|=4p-3\) ma dwa rozwiązania dodatnie.

[eresh]

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p, \ p \in \mathbb{R}\), dla których równanie \(|(x-2)(x-4)|=4p-3\) ma dwa rozwiązania dodatnie.

\(1<4p-3<8\;\;\; \vee \;\;\;4p-3=0\\
4<4p<11\;\;\;\;\vee\;\;\;p=\frac{3}{4}\\
1<p<\frac{11}{4}\;\;\;\vee\;\;\;p=\frac{3}{4}\)

[radagast]

No i jeszcze \(p= \frac{3}{4} \)

[eresh]

No i jeszcze \(p= \frac{3}{4} \)

Zgadza się, umknęło mi. Dzięki

[janusz55]

\( 4p - 3 \geq 0 \)

\( p\geq \frac{3}{4}. \)

[eresh]

\( 4p - 3 \geq 0 \)

\( p\geq \frac{3}{4}. \)

Nie wprowadzajmy użytkowników w błąd.
dla \(p=1\):
\(|(x-2)(x-4)|=1\\
x^2-6x+8=1\;\;\vee\;\;x^2-6x+8=-1\\
x_1=3-\sqrt{2}\\
x_2=3+\sqrt{2}\\
x_3=3\)
równanie ma trzy rozwiązania, więc podana przez Pana odpowiedź jest nieprawidłowa

[mosdef21]

\( 4p - 3 \geq 0 \)

\( p\geq \frac{3}{4}. \)

A skąd ten wniosek \( 4p - 3 \geq 0 \)?

[janusz55]

Wartość bezwzględna jest nie tylko równa zeru ale i nieujemna.

Jedynkę Pani wyłączyła.

Z układu nierówności:

\( \begin{cases} p > \frac{3}{4} \\ p >1 \end{cases} \rightarrow p>1.\)

[eresh]

Jedynkę Pani wyłączyła.

Pokazałam jedynie, że podane przez Pana rozwiązanie:

\( 4p - 3 \geq 0 \)

\( p\geq \frac{3}{4}. \)

jest niepoprawne

\( \begin{cases} p > \frac{3}{4} \\ p >1 \end{cases} \rightarrow p>1.\)

To również jest niepoprawne, wystarczy podstawić \(p=3\)

[janusz55]

Nie rozumiemy się. Pani napisała ograniczenia dolne i górne dla parametru \( p.\)

[eresh]

Nie rozumiemy się. Pani napisała ograniczenia dolne i górne dla parametru \( p.\)

Tak, podałam odpowiedź - dla tych p równanie ma dwa dodatnie rozwiązania.
Nie wiem natomiast co Pan ma nam w tym temacie do przekazania.

[janusz55]

Chodziło mi o to, że dla warunków początkowych - wartość bezwgledna wyrażenia jest wartością nieujemną.

[eresh]

Chodziło mi o to, że dla warunków początkowych - wartość bezwgledna wyrażenia jest wartością nieujemną.

Zgadza się, wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna. Ale chyba nie o to pytał mosdef21.

[janusz55]

Może i nie o to pytał mosdef21, ale chciałem zwrócić uwagę, na ten warunek.

Załóżmy, że nie znamy wykresu funkcji \( f(x) = |(x-2)(x-4)| \) i się nim nie posiłkujemy.

Rozwiąże Pani to równanie z parametrem metodą algebraiczną ?

[janusz55]

Proszę nie brać tego pytania jako sprawdzanie Pani umiejętności, dla których i tak jestem pełen podziwu.