logika zbiory

[Raffal]

Przyjmujemy następujące oznaczenia: ℂ - zbiór liczb zespolonych, ℕ - zbiór liczb naturalnych, ℝ - zbiór liczb
rzeczywistych, ℚ - zbiór liczb wymiernych, ℤ - zbiór liczb całkowitych, ∅ - zbiór pusty.
Zadanie 1 Proszę zapisać poniższe zdania, korzystając z odpowiednich symboli, nawiasów i spójników (funktorów)
logicznych:
a) Jeśli Pani X. lubi fizykę, to jeśli Pani X. nie lubi fizyki, to na Marsie żyją słonie.
b) Jeśli Pan X. zdąży na autobus, to przyjdzie na spotkanie, a jeśli Pan X. nie zdąży na autobus, to nie przyjdzie
na spotkanie.
c) Pani X. lubi logikę wtedy i tylko wtedy, gdy nieprawda że Pani X. nie lubi logiki.


Zadanie 2 Które z podanych wyrażeń są zdaniami logicznymi? Jeśli dane wyrażenie jest zdaniem logicznym, to proszę
ocenić, czy jest to zdanie prawdziwe, czy fałszywe.
a) Proszę podać imię i nazwisko!
b) Jutro będzie słoneczny dzień.
c) Czy odpowiedziałeś na pytanie ?
d) Wrocław nie był stolicą Polski.
e) Wieloryb nie jest rybą.
f) Marian Smoluchowski wyjaśnił zjawisko opalescencji krytycznej.
g) Funkcja 𝑓 jest malejąca.
h) Dzisiaj jest brzydka pogoda.
i) Sześcian dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą dodatnią.
j) 1-0 = 1.
k) x+2 > 0.

Zadanie 3 Proszę sprawdzić (metoda zerojedynkowa), które z podanych formuł są tautologiami
Klasycznego Rachunku Zdań (czyli logiki rzędu zerowego):
a) (¬𝑝 ⇒ 𝑞) ⟹ (𝑝 ∨ 𝑞)
b) [𝑝 ∨ ¬𝑝] ⇒(𝑞 ∨ ¬𝑞)
c) (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞).

Zadanie 4 Proszę udowodnić, że dla dowolnych zbiorów 𝑋, 𝑌, 𝑍 zachodzi:
a) (𝑋 ∪ 𝑌) ∖ 𝑍 = (𝑋 ∖ 𝑍) ∪ (𝑌 ∖ 𝑍).

Zadanie 5 Proszę znaleźć sumę, różnicę i przecięcie teoriomnogościowe (iloczyn) zbiorów 𝑋 i 𝑌:
a) 𝑋 = {−2, −1,0,2,3,5}, 𝑌 = {−3, −5,3,5}.
b) 𝑋 = ℕ, 𝑌 = ℝ.
c) 𝑋 = ℝ, 𝑌 = ℚ.
d) 𝑋 = [−2,3], 𝑌 = (−2,3).
e) 𝑋 = (0,4], 𝑌 = (−2,3).
Zad.7. Czy zbiór 𝑋 jest podzbiorem zbioru 𝑌 ?
a) 𝑋 = {𝑛 ∈ ℝ: 3|𝑛}, 𝑌 = ℝ.
b) 𝑋 = {𝑛 ∈ ℕ: 2|𝑛}, 𝑌 = {𝑛 ∈ ℕ: ¬2|𝑛


Zadanie 6 Proszę sprawdzić metodą nie wprost, które z podanych formuł są tautologiami Klasycznego Rachunku Zdań
(czyli logiki rzędu zerowego):
a) (𝛼 ⇒ ¬𝛽) ⇒ ¬(𝛼 ∧ 𝛽)
b) (¬𝛼 ⇒ ¬𝛽) ∧ (𝛽 ∨ 𝛼).