graniastosłup

[j888]

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEFGH\) jest prostokąt \(ABCD\), natomiast \(AE,\ BF,\ CG,\ DH\) są krawędziami bocznymi. Punkt \(M\) jest środkiem krawędzi \(FG\) oraz \(|AB|= 3,\ |AD|=6,\ |AE|=4\).
Oblicz:
a) długośc odcinka \(AM\)
b) cosinus kąta między prostą \(AM\) a płaszczyzną podstawy \(ABCD\)
c) cosinus kąta między prostą \(AM\) a płaszczyzną \(ABFE\)

Sporządź rysunek i zaznacz kąty z podpunktu b i c

Z góry bardzo dziękuję za pomoc!!

[eresh]

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEFGH jest prostokąt ABCD, natomiast AE, BF, CG, DH są krawędziami bocznymi. Punkt M jest środkiem krawędzi FG oraz |AB|= 3, |AD|=6, |AE|=4.
Oblicz:
a) długośc odcinka AM

trójkąt AMN jest prostokątny i N jest środkiem BC
\(|AN|^2=|AB|^2+|BN|^2\\
|AN|^2=9+9\\
|AN|^2=18\\
|AN|^2+|MN|^2=|AM|^2\\
|AM|^2=18+16\\
|AM|=\sqrt{34}\\\)

[eresh]

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEFGH jest prostokąt ABCD, natomiast AE, BF, CG, DH są krawędziami bocznymi. Punkt M jest środkiem krawędzi FG oraz |AB|= 3, |AD|=6, |AE|=4.
Oblicz:
b) cosinus kąta między prostą AM a płaszczyzną podstawy ABCD
c) cosinus kąta między prostą AM a płaszczyzną ABFE

\(\cos\alpha=\frac{|AN|}{|AM|}\\
\cos\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{34}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}\)


\(\cos\beta=\frac{|AF|}{|AM|}\\
|AF|^2=|AB|^2+|BF|^2\\
|AF|^2=9+16\\
|AF|=5\\
\cos\beta=\frac{5}{\sqrt{34}}=\frac{5\sqrt{34}}{34}\)

[janusz55]

b) \(\cos(\alpha) = \frac{|AM'|}{|AM|}\)

\( |AM'|^2 = 3^2+3^2 = 18,\)

\( |AM'| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.\)

\( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{34}} = 3\frac{\sqrt{17}}{17}.\)

\( \cos(\beta) = \frac{|AI|}{|AM|} \)

\( |AF|^2 = |AB|^2+|FB|^2\)

\( |AF|^2 = 3^2 + 4^2 = 25.\)

\( |AF|= 5.\)

\( \cos(\beta)= \frac{|AF|}{|FM|} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34}.\)

[eresh]