ZAD1
w ostroslupie prawidlowym szesciokatnym w ktorym wysokosc ma 8 pierwiastkow z 2 cm dlugosc sciany biczne tworza z podstawa kat o mierze 45 stopni. Oblicz:
a)slugosc krawedzi sotroslupa
b(dlugosc krawedzi bicznej
c)Cosinus kata miedzy wysokoscia ostroslupa a krawedzia boczna tego ostroslupa
ZAD2
Podstawa ostroslupa jest prostokat o bokach dl. 6 pirewiastek z 3 i 3 pierwiastek z 6 cm. przeciwlegle krawedzie boczne tego ostroslupa tworza kat prosty oblicz:
a)dlugosc krawedzi bocznej
b)dlugosc wysokosci ostroslupa
c)tangens kata nachylenia sciany bocvznej do podstawy
ZAD3
Przekatne podstawy i krawedzie boczne ostrislupa prawidlowego czworokatnego sa rowne. wiedzac, ze wysokosc ostroslupa ma 3 pierwiastek z 6 cm dlugosci oblicz:
a)dlugosc krawedzi bicznej
b)dlugosc krawedzi podstawy
c)cosinus kata jaki tworzy sciana boczna z podstawa
ZAd4
W ostroslupie prawidlowym szescxiokatnym o krawedzi podstawy dlugosci 4 cm oraz wysokosci ostroslupa rownej 12 cm oblicz katy nachylenia
a) krawedzi bocznej do podstawy
b) sciany bicznej do podstawy
Ostroslupy
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
\(H=8\sqrt{2}cm\)
h- wysokość ściany bocznej
a- krawędź podstawy
b- krawędź boczna
r- promie okręgu wpisanego w sześciokąt podstawy
\(\frac{r}{H}=ctg45^0\\\frac{r}{8\sqrt{2}}=1\\r=8\sqrt{2}cm\)
\(r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{2}\\a\sqrt{3}=16\sqrt{2}\\3a=16\sqrt{6}\\a=\frac{16\sqrt{6}}{3}cm\)
\(\frac{H}{h}=cos45^0\\\frac{8\sqrt{2}}{h}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\h=16cm\)
\((\frac{1}{2}a)^2+h^2=b^2\\b^2=(\frac{8\sqrt{6}}{3})^2+16^2=\frac{64\cdot6}{9}+256=\frac{2688}{9}\\b=\frac{8\sqrt{42}}{3}cm\)
\(cos\alpha=\frac{H}{b}=\frac{8\sqrt{2}}{\frac{8\sqrt{42}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\)
\(H=8\sqrt{2}cm\)
h- wysokość ściany bocznej
a- krawędź podstawy
b- krawędź boczna
r- promie okręgu wpisanego w sześciokąt podstawy
\(\frac{r}{H}=ctg45^0\\\frac{r}{8\sqrt{2}}=1\\r=8\sqrt{2}cm\)
\(r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{2}\\a\sqrt{3}=16\sqrt{2}\\3a=16\sqrt{6}\\a=\frac{16\sqrt{6}}{3}cm\)
\(\frac{H}{h}=cos45^0\\\frac{8\sqrt{2}}{h}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\h=16cm\)
\((\frac{1}{2}a)^2+h^2=b^2\\b^2=(\frac{8\sqrt{6}}{3})^2+16^2=\frac{64\cdot6}{9}+256=\frac{2688}{9}\\b=\frac{8\sqrt{42}}{3}cm\)
\(cos\alpha=\frac{H}{b}=\frac{8\sqrt{2}}{\frac{8\sqrt{42}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\)
2.
p- przekątna podstawy
b- krawędź boczna
H- wysokość ostrosłupa
a)
\(p^2=(6\sqrt{3})^2+(3\sqrt{6})^2=108+54=162\\p=9\sqrt{2}cm\)
\(2b^2=p^2\\2b^2=162\\b^2=81\\b=9cm\)
b)
\(H=\frac{1}{2}p\\H=\frac{9\sqrt{2}}{2}cm\)
c)
\(tg\alpha=\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\tg\beta=\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{6}}{2}}=\sqrt{3}\)
p- przekątna podstawy
b- krawędź boczna
H- wysokość ostrosłupa
a)
\(p^2=(6\sqrt{3})^2+(3\sqrt{6})^2=108+54=162\\p=9\sqrt{2}cm\)
\(2b^2=p^2\\2b^2=162\\b^2=81\\b=9cm\)
b)
\(H=\frac{1}{2}p\\H=\frac{9\sqrt{2}}{2}cm\)
c)
\(tg\alpha=\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\tg\beta=\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{6}}{2}}=\sqrt{3}\)
3.
p- przekątna podstawy
b- krawędź boczna
H- wysokość ostrosłupa
a- krawędź boczna
h- wysokość ściany bocznej
a)
\(p=b\\H=\frac{b\sqrt{3}}{2}\\\frac{b\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}\\b\sqrt{3}=6\sqrt{6}\\b=6\sqrt{2}cm\)
b)
\(a\sqrt{2}=p\\a\sqrt{2}=6\sqrt{2}\\a=6cm\)
c)
\(h^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\\h^2+3^2=(6\sqrt{2})^2\\h^2=72-9=63\\h=3\sqrt{7}cm\\cos\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{h}\\cos\alpha=\frac{3}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)
p- przekątna podstawy
b- krawędź boczna
H- wysokość ostrosłupa
a- krawędź boczna
h- wysokość ściany bocznej
a)
\(p=b\\H=\frac{b\sqrt{3}}{2}\\\frac{b\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}\\b\sqrt{3}=6\sqrt{6}\\b=6\sqrt{2}cm\)
b)
\(a\sqrt{2}=p\\a\sqrt{2}=6\sqrt{2}\\a=6cm\)
c)
\(h^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\\h^2+3^2=(6\sqrt{2})^2\\h^2=72-9=63\\h=3\sqrt{7}cm\\cos\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{h}\\cos\alpha=\frac{3}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)
4.
a=4cm
H=12cm
R- promień okręgu opisanego na sześciokącie podstawy
a)
\(tg\alpha=\frac{H}{R}\\R=a\\tg\alpha=\frac{12}{4}=3\\\alpha\approx72^0\)
b)
r - promień okręgu wpisanego w sześciokąt podstawy
\(r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\r=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}cm\\ctg\beta=\frac{r}{H}\\ctg\beta=\frac{2\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0,2887\\\beta\approx74^0\)
a=4cm
H=12cm
R- promień okręgu opisanego na sześciokącie podstawy
a)
\(tg\alpha=\frac{H}{R}\\R=a\\tg\alpha=\frac{12}{4}=3\\\alpha\approx72^0\)
b)
r - promień okręgu wpisanego w sześciokąt podstawy
\(r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\r=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}cm\\ctg\beta=\frac{r}{H}\\ctg\beta=\frac{2\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0,2887\\\beta\approx74^0\)