Witam, sprawiło mi trudność te zadanko:
Okrąg przedstawiony na rysunku -----> http://img90.imageshack.us/my.php?image=zadtx0.jpg jest styczny do osi OX, a prosta k przechodzi przez punkt A (-6;0) i jest styczna do okręgu w punkcie B.
a) oblicz długość odcinka AB,
b) Znajdź równanie stycznej wiedząc dodatkowo, że punkt A znajduje się w odległości sześciu pierwiastków z dwóch od środka okregu.
dzięki za pomoc, pozdrawiam.
Analityczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
S - środek okręgu
BS=r , AS=6*pierwiastek z 2 , AB=8 i BS prostopadły do AB stąd,na podstawie tw. Pitagorasa, jest: 72=64 +r^2 czyli r=2*pierwiastek z 2
Równanie prostej k jest postaci y=ax+b i punkt A(-6;0) należy do tej prostej, czyli 0=-6a+b stąd b=6a
Równanie prostej k przyjmie postać y=ax+6a więc postać ogólna prostej k: ax-y+6a=0
Ponieważ prosta k jest styczna do okręgu, to odległość punktu S od prostej k musi być równa r, czyli po zastosowniu wzoru na odległość punktu od prostej jest
2*pierwiastek z 2=(wartość bezwzględna z (2a-2*(pierwiastek z 2) +6a))/pierwiastek z (a^2 + 1)
po rozwiązaniu równania otrzymasz a=0 lub a=(4*pierwiastek z 2)/7
jeżeli a=0 to otrzymamy prostą o równaniu y=0 czyli równanie osi OX, w takim razie prosta k: ((4*pierwiastek z 2)/7)*x - y + (24*pierwiastek z 2)/7
BS=r , AS=6*pierwiastek z 2 , AB=8 i BS prostopadły do AB stąd,na podstawie tw. Pitagorasa, jest: 72=64 +r^2 czyli r=2*pierwiastek z 2
Równanie prostej k jest postaci y=ax+b i punkt A(-6;0) należy do tej prostej, czyli 0=-6a+b stąd b=6a
Równanie prostej k przyjmie postać y=ax+6a więc postać ogólna prostej k: ax-y+6a=0
Ponieważ prosta k jest styczna do okręgu, to odległość punktu S od prostej k musi być równa r, czyli po zastosowniu wzoru na odległość punktu od prostej jest
2*pierwiastek z 2=(wartość bezwzględna z (2a-2*(pierwiastek z 2) +6a))/pierwiastek z (a^2 + 1)
po rozwiązaniu równania otrzymasz a=0 lub a=(4*pierwiastek z 2)/7
jeżeli a=0 to otrzymamy prostą o równaniu y=0 czyli równanie osi OX, w takim razie prosta k: ((4*pierwiastek z 2)/7)*x - y + (24*pierwiastek z 2)/7
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
II sposób
C - punkt styczności okręgu z osią OX
r trzeba wyliczyć jak wyżej
alfa to miara kąta SAC, 2alfa to miara kąta BAC
tg alfa = (2*pierwiastek z 2)/8 , stosując wzór na tg2alfa otrzymamy tg2alfa=((pierwiastek z 2)/2)/(1-(1/8)) = (4*pierwiastek z 2)/7
prosta k ma równanie postaci y=ax+b gdzie a=tg kąta nchylenia prostej do osi OX, w naszym zadaniu tg kąta BAC, czyli a=(4*pierwiastek z 2)/7
w takim razie równanie prostej k przyjmie postać: y=((4*pierwiastek z 2)/7)*x + b i punkt A(-6;0) należy do k, więc po wyliczeniach b=(24*pierwistek z 2)/7
stąd k: y = ((4*pierwiastek z 2)/7)*x + (24*pierwiastek z 2)/7
C - punkt styczności okręgu z osią OX
r trzeba wyliczyć jak wyżej
alfa to miara kąta SAC, 2alfa to miara kąta BAC
tg alfa = (2*pierwiastek z 2)/8 , stosując wzór na tg2alfa otrzymamy tg2alfa=((pierwiastek z 2)/2)/(1-(1/8)) = (4*pierwiastek z 2)/7
prosta k ma równanie postaci y=ax+b gdzie a=tg kąta nchylenia prostej do osi OX, w naszym zadaniu tg kąta BAC, czyli a=(4*pierwiastek z 2)/7
w takim razie równanie prostej k przyjmie postać: y=((4*pierwiastek z 2)/7)*x + b i punkt A(-6;0) należy do k, więc po wyliczeniach b=(24*pierwistek z 2)/7
stąd k: y = ((4*pierwiastek z 2)/7)*x + (24*pierwiastek z 2)/7