1. Kąt ostry rombu ma miarę 60 stopni. Oblicz stosunek pola koła wpisanego w ten romb do pola tego rombu.
2. Stosunek długości przekątnych rombu wynosi 3:4. Oblicz stosunek pola rombu do pola koła wpisanego w ten romb.
3.
W rombie ABCD bok AB ma długość 20cm, a przekątna BD ma długość 24cm. Możemy obliczyć pole czworokąta EFGH powstałego przez połaczenie środków boków rombu ( jak na rysunku wyżej ), w następujący sposób:
- Korzystając z twierdzenia Pitagorasa i z własności przekątnych rombu obliczamy długość przekątnej AC:
\(\left| \frac{1}{2} AC \right|^{2}\) + \(\left| \frac{1}{2} DB \right| ^{2}\) = \(\left| AB \right|\)
\(\left| \frac{1}{2} AC \right|^{2}\) =\(20 ^{2}\) - \(12 ^{2}\)
|AC| = 32 (cm)
- Korzystając z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków trójkąta obliczamy długości boków czworokąta EFGH:
|EF|= \(\frac{1}{2}\) |AC| = |HG| oraz |EH| = \(\frac{1}{2}\) |DB| = |GF|, skąd
|EF| = |HG| = 16cm, |EH| = |GF| = 12 cm.
- Ponadto z zależności: EF || AC, HG||AC, HE||DB, GF||DB oraz AC prostopadłe do DB wynika,
że czworokąt EFGH jest protokątem. Obliczamy jego pole:
P = 16 \(\cdot\) 12 = 192 (\(cm ^{2}\) )
Pole czworokąta EFGH jest równe 192 \(cm ^{2}\) .
Postępując podobnie, rozwiąż następujące zadanie:
W deltoidzie dłuższy bok ma długość 34cm. Dłuższa przekątna ma długość 45cm i jest podzielona przez
drugą przekątną na odcinki, których długości mają się jak 1 : 2. Oblicz pole czworokąta powstałego przez połączenie kolejno środków boków deltoidu.
Romb
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- anka
- Expert
- Posty: 6589
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1119 razy
- Płeć:
1.
\(60^o\). Jest więc trójkątem równobocznym.
|AB|=|AD|=|BD|
Obliczam \(r\)
\(sin60^o=\frac{|EO|}{|OB|}\\
\frac{\sqrt3}{2}=\frac{r}{\frac{1}{2}a}\\
r=\frac{a\sqrt3}{4}\)
Obliczam pole koła
\(P_{k}=\pi r^2\\
P_{k}=\pi \cdot (\frac{a\sqrt3}{4})^2\\
P_{k}=\frac{3a^2\pi}{16}\)
Obliczam pole rombu
\(P_{r}=a^2sin60^o\\
P_{r}=a^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\
P_{r}=\frac{a^2\sqrt3}{2}\)
Obliczam stosunek pola koła wpisanego w ten romb do pola tego rombu
\(\frac{P_{k}}{P_{r}}=\frac{\frac{3a^2\pi}{16}}{\frac{a^2\sqrt3}{2}}\\
\frac{P_{k}}{P_{r}}=\frac{3\pi}{8\sqrt3}\\
\frac{P_{k}}{P_{r}}=\frac{3\pi\sqrt3}{24}\\
\frac{P_{k}}{P_{r}}=\frac{\pi\sqrt3}{8}\)
2. Obliczam \(x\)
\(\frac{2y}{2x}=\frac{3}{4}\\
x=\frac{4y}{3}\)
Obliczam pole rombu
\(P_{r}=\frac{2x\cdot 2y}{2}\\
P_{r}=2xy\\
P_{r}=2\cdot \frac{4y}{3}\cdot y\\
P_{r}=\frac{8y^2}{3}\)
Obliczam \(r\)
Z pola rombu
\(a\cdot2r={\frac{8y^2}{3}}\\
r=\frac{4y^2}{3a}\\
r=\frac{4y^2}{3\sqrt{x^2+y^2}}\\
r=\frac{4y^2}{3\sqrt{(\frac{4y}{3})^2+y^2}}\\
r=\frac{4y^2}{3\sqrt{\frac{16y^2}{9}+y^2}}\\
r=\frac{4y^2}{3\sqrt{\frac{25y^2}{9}}\)
\(r=\frac{4y^2}{3 \cdot \frac{5y}{3}}\\
r=\frac{4y^2}{5y}\\
r=\frac{4y}{5}\)
Obliczam pole koła
\(P_{k}=\pi r^2\\
P_{k}=\pi \cdot(\frac{4y}{5})^2\\
P_{k}=\frac{16\pi y^2}{25}\)
Obliczam stosunek pola rombu do pola koła wpisanego w ten romb.
\(\frac{P_{r}}{P_{k}}=\frac{\frac{8y^2}{3}}{\frac{16\pi y^2}{25}}\\
\frac{P_{r}}{P_{k}}=\frac{25}{6\pi}\)
3. Obliczam |OB|
\(|OB|=\frac{2}{3}|BD|\\
|OB|=\frac{2}{3}\cdot 45\\
|OB|=30\)
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa i z własności przekątnych detloidu obliczamy długość przekątnej AC:
\(|\frac{1}{2} AC|^{2}+|OB|^{2}= |AB|^2|\)
\(|\frac{1}{2} AC|^{2}=34^{2}-30^2\)
|AC| = 32 (cm)
- Korzystając z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków trójkąta obliczamy długości boków czworokąta EFGH:
|EF|= \(\frac{1}{2}\) |AC| = |HG| oraz |EH| = \(\frac{1}{2}\) |DB| = |GF|, skąd
|EF| = |HG| = 16cm, |EH| = |GF| = 22,5 cm.
- Ponadto z zależności: EF || AC, HG||AC, HE||DB, GF||DB oraz AC prostopadłe do DB wynika,
że czworokąt EFGH jest protokątem. Obliczamy jego pole:
\(P = 16\cdot 22,5= 360 (cm ^{2})\)
Pole czworokąta EFGH jest równe 360 \(cm ^{2}\) .
Trójkąt ABD jest trójkątem równoramiennym o kącie między ramionami równym |AB|=|AD|=|BD|
Obliczam \(r\)
\(sin60^o=\frac{|EO|}{|OB|}\\
\frac{\sqrt3}{2}=\frac{r}{\frac{1}{2}a}\\
r=\frac{a\sqrt3}{4}\)
Obliczam pole koła
\(P_{k}=\pi r^2\\
P_{k}=\pi \cdot (\frac{a\sqrt3}{4})^2\\
P_{k}=\frac{3a^2\pi}{16}\)
Obliczam pole rombu
\(P_{r}=a^2sin60^o\\
P_{r}=a^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\
P_{r}=\frac{a^2\sqrt3}{2}\)
Obliczam stosunek pola koła wpisanego w ten romb do pola tego rombu
\(\frac{P_{k}}{P_{r}}=\frac{\frac{3a^2\pi}{16}}{\frac{a^2\sqrt3}{2}}\\
\frac{P_{k}}{P_{r}}=\frac{3\pi}{8\sqrt3}\\
\frac{P_{k}}{P_{r}}=\frac{3\pi\sqrt3}{24}\\
\frac{P_{k}}{P_{r}}=\frac{\pi\sqrt3}{8}\)
2. Obliczam \(x\)
\(\frac{2y}{2x}=\frac{3}{4}\\
x=\frac{4y}{3}\)
Obliczam pole rombu
\(P_{r}=\frac{2x\cdot 2y}{2}\\
P_{r}=2xy\\
P_{r}=2\cdot \frac{4y}{3}\cdot y\\
P_{r}=\frac{8y^2}{3}\)
Obliczam \(r\)
Z pola rombu
\(a\cdot2r={\frac{8y^2}{3}}\\
r=\frac{4y^2}{3a}\\
r=\frac{4y^2}{3\sqrt{x^2+y^2}}\\
r=\frac{4y^2}{3\sqrt{(\frac{4y}{3})^2+y^2}}\\
r=\frac{4y^2}{3\sqrt{\frac{16y^2}{9}+y^2}}\\
r=\frac{4y^2}{3\sqrt{\frac{25y^2}{9}}\)
\(r=\frac{4y^2}{3 \cdot \frac{5y}{3}}\\
r=\frac{4y^2}{5y}\\
r=\frac{4y}{5}\)
Obliczam pole koła
\(P_{k}=\pi r^2\\
P_{k}=\pi \cdot(\frac{4y}{5})^2\\
P_{k}=\frac{16\pi y^2}{25}\)
Obliczam stosunek pola rombu do pola koła wpisanego w ten romb.
\(\frac{P_{r}}{P_{k}}=\frac{\frac{8y^2}{3}}{\frac{16\pi y^2}{25}}\\
\frac{P_{r}}{P_{k}}=\frac{25}{6\pi}\)
3. Obliczam |OB|
\(|OB|=\frac{2}{3}|BD|\\
|OB|=\frac{2}{3}\cdot 45\\
|OB|=30\)
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa i z własności przekątnych detloidu obliczamy długość przekątnej AC:
\(|\frac{1}{2} AC|^{2}+|OB|^{2}= |AB|^2|\)
\(|\frac{1}{2} AC|^{2}=34^{2}-30^2\)
|AC| = 32 (cm)
- Korzystając z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków trójkąta obliczamy długości boków czworokąta EFGH:
|EF|= \(\frac{1}{2}\) |AC| = |HG| oraz |EH| = \(\frac{1}{2}\) |DB| = |GF|, skąd
|EF| = |HG| = 16cm, |EH| = |GF| = 22,5 cm.
- Ponadto z zależności: EF || AC, HG||AC, HE||DB, GF||DB oraz AC prostopadłe do DB wynika,
że czworokąt EFGH jest protokątem. Obliczamy jego pole:
\(P = 16\cdot 22,5= 360 (cm ^{2})\)
Pole czworokąta EFGH jest równe 360 \(cm ^{2}\) .
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.