okrąg wpisany w trójkąt

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
noregrets
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 60
Rejestracja: 18 lis 2010, 17:49
Podziękowania: 87 razy
Płeć:

okrąg wpisany w trójkąt

Post autor: noregrets »

zad1. Na okręgu o promieniu 3 opisano trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku równym 120 stopni. Oblicz długość boków tego trójkąta. ( odp. \(2( 2\sqrt{3} +3), 2( 2\sqrt{3} +3), 6( 2\sqrt{3} +2)\)

zad2. w trójkąt równoramienny o kącie przy podstawie równym 30 stopni wpisano okrąg o promieniu 2. Oblicz pole trójkąta.
(odp. \(\frac{28 \sqrt{3} }{3} +16\))

zad3.w trójkąt wpisano okrąg o promieniu 4. jeden z boków tego trójkąta został podzielony przez punkt styczności okręgu na odcinki długości 4 i \(4 \sqrt{3}\). oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.
(odp. \(4( \sqrt{3}+3), 8( \sqrt{3}+1)\))
Murarz
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 620
Rejestracja: 17 kwie 2011, 20:18
Lokalizacja: Wrocław
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 283 razy
Płeć:

Post autor: Murarz »

1.
Z tw. sinusów.
\(\frac{a}{sin30}=\frac{b}{sin120}
a=\frac{b\sqrt3}{3}\)

\(sin30=\frac{h}{\frac{b\sqrt3}{3}}\)
\(h=\frac{b\sqrt3}{6}\)
\(R=\frac{2P}{a+b+c}\)
\(2P=\frac{b^2\sqrt3}{6}\)
\(R=\frac{b^2\sqrt3}{6b(\frac{2\sqrt3}{3}+1)}\)
\(3=\frac{b\sqrt3}{4\sqrt3+6}\)
\(b\sqrt3=12\sqrt3+18\)
\(b=6(2+\sqrt3)\)
\(a=\frac{b\sqrt3}{3}\)
\(a=2(2\sqrt3+3)\)
Murarz
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 620
Rejestracja: 17 kwie 2011, 20:18
Lokalizacja: Wrocław
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 283 razy
Płeć:

Post autor: Murarz »

2.
Takie same kąty jak w poprzednim zadaniu, więc oznaczenia przyjmuję takie same.
\(R=\frac{2P}{a+b+c}\)
\(R=2\)
\(P=\frac{R(a+b+c)}{2}\)
\(P=a+b+c\)
Z poprzedniego zadania
\(P=\frac{b^2\sqrt3}{12}\)
\(a+b+c=b(\frac{2\sqrt3}{3}+1)\)
\(\frac{b^2\sqrt3}{12}=b(\frac{2\sqrt3}{3}+1)\)
\(b=4\sqrt3+8\)
\(P=\frac{(4\sqrt3+8)^2\sqrt3}{12}\)
\(P=\frac{(48+64\sqrt3+64)\sqrt3}{12}\)
\(P=\frac{112\sqrt3+192}{12}\)
\(P=\frac{28\sqrt3}{3}+16\)
Awatar użytkownika
alexx17
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2084
Rejestracja: 27 mar 2011, 21:34
Lokalizacja: Szczecin
Podziękowania: 38 razy
Otrzymane podziękowania: 937 razy
Płeć:

Post autor: alexx17 »

Zad.3.

Trójkąt jest prostokątny i
\(4+4 \sqrt{3}\) - pierwsza przyprostokątna
\(4+x\) - druga przyprostokątna
\(4 \sqrt{3} +x\) - przeciwprostokątna

Z Pitagorasa liczysz x

\((x + 4)^2 + (4 + 4 \sqrt{3} )^2 = (x + 4 \sqrt{3} )^2\\x^2+8x+16+16+32 \sqrt{3}+48=x^2+8 \sqrt{3}x+48\\-8 sqrt3 x+8 x+32 sqrt3+32 = 0 \setminus : (-8)\\ \sqrt{3}x-x-4 \sqrt{3}-4=0\\x( \sqrt{3}-1)=4 \sqrt{3}+4 \setminus : ( \sqrt{3}-1)\\x= \frac{4 \sqrt{3}+4}{ \sqrt{3}-1 } \cdot \frac{ \sqrt{3}+1 }{\sqrt{3}+1}= \frac{16+8 \sqrt{3}}{2}=4 \sqrt{3}+8\)

Boki:
\(4+4 \sqrt{3}, \ 4 \sqrt{3}+12, \ 8 \sqrt{3}+8\)
ODPOWIEDZ