zad1. Na okręgu o promieniu 3 opisano trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku równym 120 stopni. Oblicz długość boków tego trójkąta. ( odp. \(2( 2\sqrt{3} +3), 2( 2\sqrt{3} +3), 6( 2\sqrt{3} +2)\)
zad2. w trójkąt równoramienny o kącie przy podstawie równym 30 stopni wpisano okrąg o promieniu 2. Oblicz pole trójkąta.
(odp. \(\frac{28 \sqrt{3} }{3} +16\))
zad3.w trójkąt wpisano okrąg o promieniu 4. jeden z boków tego trójkąta został podzielony przez punkt styczności okręgu na odcinki długości 4 i \(4 \sqrt{3}\). oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.
(odp. \(4( \sqrt{3}+3), 8( \sqrt{3}+1)\))
okrąg wpisany w trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 620
- Rejestracja: 17 kwie 2011, 20:18
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 283 razy
- Płeć:
1.
Z tw. sinusów.
\(\frac{a}{sin30}=\frac{b}{sin120}
a=\frac{b\sqrt3}{3}\)
\(sin30=\frac{h}{\frac{b\sqrt3}{3}}\)
\(h=\frac{b\sqrt3}{6}\)
\(R=\frac{2P}{a+b+c}\)
\(2P=\frac{b^2\sqrt3}{6}\)
\(R=\frac{b^2\sqrt3}{6b(\frac{2\sqrt3}{3}+1)}\)
\(3=\frac{b\sqrt3}{4\sqrt3+6}\)
\(b\sqrt3=12\sqrt3+18\)
\(b=6(2+\sqrt3)\)
\(a=\frac{b\sqrt3}{3}\)
\(a=2(2\sqrt3+3)\)
Z tw. sinusów.
\(\frac{a}{sin30}=\frac{b}{sin120}
a=\frac{b\sqrt3}{3}\)
\(sin30=\frac{h}{\frac{b\sqrt3}{3}}\)
\(h=\frac{b\sqrt3}{6}\)
\(R=\frac{2P}{a+b+c}\)
\(2P=\frac{b^2\sqrt3}{6}\)
\(R=\frac{b^2\sqrt3}{6b(\frac{2\sqrt3}{3}+1)}\)
\(3=\frac{b\sqrt3}{4\sqrt3+6}\)
\(b\sqrt3=12\sqrt3+18\)
\(b=6(2+\sqrt3)\)
\(a=\frac{b\sqrt3}{3}\)
\(a=2(2\sqrt3+3)\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 620
- Rejestracja: 17 kwie 2011, 20:18
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 283 razy
- Płeć:
2.
Takie same kąty jak w poprzednim zadaniu, więc oznaczenia przyjmuję takie same.
\(R=\frac{2P}{a+b+c}\)
\(R=2\)
\(P=\frac{R(a+b+c)}{2}\)
\(P=a+b+c\)
Z poprzedniego zadania
\(P=\frac{b^2\sqrt3}{12}\)
\(a+b+c=b(\frac{2\sqrt3}{3}+1)\)
\(\frac{b^2\sqrt3}{12}=b(\frac{2\sqrt3}{3}+1)\)
\(b=4\sqrt3+8\)
\(P=\frac{(4\sqrt3+8)^2\sqrt3}{12}\)
\(P=\frac{(48+64\sqrt3+64)\sqrt3}{12}\)
\(P=\frac{112\sqrt3+192}{12}\)
\(P=\frac{28\sqrt3}{3}+16\)
Takie same kąty jak w poprzednim zadaniu, więc oznaczenia przyjmuję takie same.
\(R=\frac{2P}{a+b+c}\)
\(R=2\)
\(P=\frac{R(a+b+c)}{2}\)
\(P=a+b+c\)
Z poprzedniego zadania
\(P=\frac{b^2\sqrt3}{12}\)
\(a+b+c=b(\frac{2\sqrt3}{3}+1)\)
\(\frac{b^2\sqrt3}{12}=b(\frac{2\sqrt3}{3}+1)\)
\(b=4\sqrt3+8\)
\(P=\frac{(4\sqrt3+8)^2\sqrt3}{12}\)
\(P=\frac{(48+64\sqrt3+64)\sqrt3}{12}\)
\(P=\frac{112\sqrt3+192}{12}\)
\(P=\frac{28\sqrt3}{3}+16\)
- alexx17
- Fachowiec
- Posty: 2084
- Rejestracja: 27 mar 2011, 21:34
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękowania: 38 razy
- Otrzymane podziękowania: 937 razy
- Płeć:
Zad.3.
Trójkąt jest prostokątny i
\(4+4 \sqrt{3}\) - pierwsza przyprostokątna
\(4+x\) - druga przyprostokątna
\(4 \sqrt{3} +x\) - przeciwprostokątna
Z Pitagorasa liczysz x
\((x + 4)^2 + (4 + 4 \sqrt{3} )^2 = (x + 4 \sqrt{3} )^2\\x^2+8x+16+16+32 \sqrt{3}+48=x^2+8 \sqrt{3}x+48\\-8 sqrt3 x+8 x+32 sqrt3+32 = 0 \setminus : (-8)\\ \sqrt{3}x-x-4 \sqrt{3}-4=0\\x( \sqrt{3}-1)=4 \sqrt{3}+4 \setminus : ( \sqrt{3}-1)\\x= \frac{4 \sqrt{3}+4}{ \sqrt{3}-1 } \cdot \frac{ \sqrt{3}+1 }{\sqrt{3}+1}= \frac{16+8 \sqrt{3}}{2}=4 \sqrt{3}+8\)
Boki:
\(4+4 \sqrt{3}, \ 4 \sqrt{3}+12, \ 8 \sqrt{3}+8\)
Trójkąt jest prostokątny i
\(4+4 \sqrt{3}\) - pierwsza przyprostokątna
\(4+x\) - druga przyprostokątna
\(4 \sqrt{3} +x\) - przeciwprostokątna
Z Pitagorasa liczysz x
\((x + 4)^2 + (4 + 4 \sqrt{3} )^2 = (x + 4 \sqrt{3} )^2\\x^2+8x+16+16+32 \sqrt{3}+48=x^2+8 \sqrt{3}x+48\\-8 sqrt3 x+8 x+32 sqrt3+32 = 0 \setminus : (-8)\\ \sqrt{3}x-x-4 \sqrt{3}-4=0\\x( \sqrt{3}-1)=4 \sqrt{3}+4 \setminus : ( \sqrt{3}-1)\\x= \frac{4 \sqrt{3}+4}{ \sqrt{3}-1 } \cdot \frac{ \sqrt{3}+1 }{\sqrt{3}+1}= \frac{16+8 \sqrt{3}}{2}=4 \sqrt{3}+8\)
Boki:
\(4+4 \sqrt{3}, \ 4 \sqrt{3}+12, \ 8 \sqrt{3}+8\)