1.Punkt P=(-2;-3) jest wierzchołkiem rombu,którego jeden z boków jest zawarty w prostej o równaniu x-2y-4=0.Punkt M=(1;1) jest środkiem symetrii rombu.Wyznacz pozostałe wierzchołki tego rombu oraz cosinus kąta ostrego tego rombu.
2.W trójkącie ABC dane są A=(-4;-1),S=(2;1) , gdzie S jest środkiem odcinka AB,oraz \(\vec{BC}\)=[-4;4].Wyznacz równanie symetralnej boku BC.
Za rozwiązanie z góry dziękuję !
Wektory na płaszczyźnie współrzędnych.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
heja
- Fachowiec
- Posty: 1231
- Rejestracja: 07 lut 2009, 11:28
- Podziękowania: 32 razy
- Otrzymane podziękowania: 385 razy
1)
Prosta k: \(x - 2y -4 = 0 \wedge P=(-2;-3) \in k\)
oznaczmy wierzchołki rombu \(Q \in k ; R; S\)
\(\vec{MR} = \vec{PM}\)
\([x_{r} - 1 ; y_{r} - 1 ] = [1 + 2 ; 1 + 3 ]\)
\(\begin{cases} x_{r} - 1 = 3 \\ y_{r} - 1 = 4 \end{cases}\)
\(R = ( 4;5 )\)
prosta PR ma równanie;\(y = \frac{4}{3} x - \frac{1}{3}\)
\(QS \perp PR \wedge M \in QS\) \(\to QS : y = - \frac{3}{4} x + \frac{7}{4}\)
\(k \cap QS = Q\)
\(\begin{cases} y = - \frac{3}{4} x + \frac{7}{4} \\ y = \frac{1}{2} x - 2 \end{cases}\)
\(Q = ( 3 ; - \frac{1}{2} )\)
\(\vec{MS} = \vec{QM}\)
\([x_{s} - 1 ; y_{s} - 1 ] = [ 1 - 3 ; 1 + \frac{1}{2} ]\)
\(x_{s} = - 1 \wedge y_{s} = \frac{5}{2} \to S= ( -1; \frac{5}{2} )\)
\(\ cos \angle ( \vec{PQ} ; \vec{PS} ) = \frac{ \vec{PQ} \circ \vec{PS} }{I \vec{PQ} I \cdot I \vec{PS} I }\)
\(\vec{PQ} = [ 5 ; \frac{5}{2} ] \to I \vec{PQ} I = \frac{5 \sqrt{5} }{2}\)
\(\vec{PS} = [1 ; \frac{11}{2} ]\)
\(\ cos \angle ( \vec{PQ} ; \vec{PS} ) = \frac{3}{5}\)
Prosta k: \(x - 2y -4 = 0 \wedge P=(-2;-3) \in k\)
oznaczmy wierzchołki rombu \(Q \in k ; R; S\)
\(\vec{MR} = \vec{PM}\)
\([x_{r} - 1 ; y_{r} - 1 ] = [1 + 2 ; 1 + 3 ]\)
\(\begin{cases} x_{r} - 1 = 3 \\ y_{r} - 1 = 4 \end{cases}\)
\(R = ( 4;5 )\)
prosta PR ma równanie;\(y = \frac{4}{3} x - \frac{1}{3}\)
\(QS \perp PR \wedge M \in QS\) \(\to QS : y = - \frac{3}{4} x + \frac{7}{4}\)
\(k \cap QS = Q\)
\(\begin{cases} y = - \frac{3}{4} x + \frac{7}{4} \\ y = \frac{1}{2} x - 2 \end{cases}\)
\(Q = ( 3 ; - \frac{1}{2} )\)
\(\vec{MS} = \vec{QM}\)
\([x_{s} - 1 ; y_{s} - 1 ] = [ 1 - 3 ; 1 + \frac{1}{2} ]\)
\(x_{s} = - 1 \wedge y_{s} = \frac{5}{2} \to S= ( -1; \frac{5}{2} )\)
\(\ cos \angle ( \vec{PQ} ; \vec{PS} ) = \frac{ \vec{PQ} \circ \vec{PS} }{I \vec{PQ} I \cdot I \vec{PS} I }\)
\(\vec{PQ} = [ 5 ; \frac{5}{2} ] \to I \vec{PQ} I = \frac{5 \sqrt{5} }{2}\)
\(\vec{PS} = [1 ; \frac{11}{2} ]\)
\(\ cos \angle ( \vec{PQ} ; \vec{PS} ) = \frac{3}{5}\)
-
heja
- Fachowiec
- Posty: 1231
- Rejestracja: 07 lut 2009, 11:28
- Podziękowania: 32 razy
- Otrzymane podziękowania: 385 razy
2)
\(\vec{AS} = \vec{SB}\)
\([6;2] = [ x_{B} - 2 ; y_{B} -1 ]\)
\(\begin{cases} x_{B} = 8 \\ y_{B} = 3 \end{cases}\)
\(B = ( 8;3 )\)
\(\vec{BC} = [x_{C} - 8 ; y_{C} - 3 ] = [ - 4 ; 4 ]\)
\(C = ( 4 ; 7 )\)
P - środek boku BC \(\to P = ( \frac{8 + 4 }{2} ; \frac{3 + 7 }{2} ) = ( 6; 5 )\)
\(BC: y = - x + 11\)
\(sym_{BC} \perp BC \wedge P \in sym_{BC}\)
\(sym_{BC} : y = x - 1\)
\(\vec{AS} = \vec{SB}\)
\([6;2] = [ x_{B} - 2 ; y_{B} -1 ]\)
\(\begin{cases} x_{B} = 8 \\ y_{B} = 3 \end{cases}\)
\(B = ( 8;3 )\)
\(\vec{BC} = [x_{C} - 8 ; y_{C} - 3 ] = [ - 4 ; 4 ]\)
\(C = ( 4 ; 7 )\)
P - środek boku BC \(\to P = ( \frac{8 + 4 }{2} ; \frac{3 + 7 }{2} ) = ( 6; 5 )\)
\(BC: y = - x + 11\)
\(sym_{BC} \perp BC \wedge P \in sym_{BC}\)
\(sym_{BC} : y = x - 1\)
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
1)
Punkt P należy do danej prostej o równaniu : \(y= \frac{1}{2}x-2\).
\(\vec{PM}= \vec{MB}\;\;\;\;i\;\;\;B=(x;y)\\
[3;4]=[x-1;y-1]\\
x-1=3\;\;\;\;\;i\;\;\;\;y-1=4\\
x=4\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;y=5\;\;\;\;\;\;wierzch.\;B=(4;5)\\
Prosta\;\;PB\;\;:\;y= \frac{4}{3}x- \frac{1}{3}\)
PB jest przekątną rombu,to druga przekątna AC jest zawarta w prostej prostopadłej
do PB przechodzącej przez środek M .
\(Prosta\;\;AC\;:\;y=- \frac{2}{3}x+b\;\;\;i\;\;\;\;M=(1;1)\\
1=- \frac{2}{3}+b\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;b=1 \frac{2}{3}\\
AC\;:\;y=- \frac{3}{3}x+1 \frac{2}{3}\)
Punkt A jest wspólny dla prostych PA i AC:
\(\{y= \frac{1}{2}x-2\\y=- \frac{2}{3}x+ \frac{5}{3}\)
\(\{ x= \frac{22}{7}\\y=- \frac{3}{7}\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;\;A=( \frac{22}{7};- \frac{3}{7}\)
Punkt C obliczam z równości wektorów:
\(\vec{AM}= \vec{MC}\;\;\;\;i\;\;\;C=(x;y)\\
[- \frac{15}{7}; \frac{10}{7}]=[x-1;y-1]\\
x-1=- \frac{15}{7}\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;y-1= \frac{10}{7}\\
x=- \frac{8}{7}\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;y= \frac{17}{7}\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;C=( -\frac{8}{7}; \frac{17}{7})\)
Kosinus kąta CPA obliczysz z tw.kosinusów w trójkącie .Długości boków umiesz liczyć
,a potem tylko podstawić
do tw.cos.
Powodzenia
Punkt P należy do danej prostej o równaniu : \(y= \frac{1}{2}x-2\).
\(\vec{PM}= \vec{MB}\;\;\;\;i\;\;\;B=(x;y)\\
[3;4]=[x-1;y-1]\\
x-1=3\;\;\;\;\;i\;\;\;\;y-1=4\\
x=4\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;y=5\;\;\;\;\;\;wierzch.\;B=(4;5)\\
Prosta\;\;PB\;\;:\;y= \frac{4}{3}x- \frac{1}{3}\)
PB jest przekątną rombu,to druga przekątna AC jest zawarta w prostej prostopadłej
do PB przechodzącej przez środek M .
\(Prosta\;\;AC\;:\;y=- \frac{2}{3}x+b\;\;\;i\;\;\;\;M=(1;1)\\
1=- \frac{2}{3}+b\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;b=1 \frac{2}{3}\\
AC\;:\;y=- \frac{3}{3}x+1 \frac{2}{3}\)
Punkt A jest wspólny dla prostych PA i AC:
\(\{y= \frac{1}{2}x-2\\y=- \frac{2}{3}x+ \frac{5}{3}\)
\(\{ x= \frac{22}{7}\\y=- \frac{3}{7}\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;\;A=( \frac{22}{7};- \frac{3}{7}\)
Punkt C obliczam z równości wektorów:
\(\vec{AM}= \vec{MC}\;\;\;\;i\;\;\;C=(x;y)\\
[- \frac{15}{7}; \frac{10}{7}]=[x-1;y-1]\\
x-1=- \frac{15}{7}\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;y-1= \frac{10}{7}\\
x=- \frac{8}{7}\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;y= \frac{17}{7}\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;C=( -\frac{8}{7}; \frac{17}{7})\)
Kosinus kąta CPA obliczysz z tw.kosinusów w trójkącie .Długości boków umiesz liczyć
,a potem tylko podstawićdo tw.cos.
Powodzenia
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.