całka

[joanna1234]

\(\int\frac{dx}{\sqrt{(2r-x)x}}\), r>0

[octahedron]

\(\sqrt{(2r-x)x}=tx \Rightarrow (2r-x)x=t^2x^2\Rightarrow 2r-x=t^2x\Rightarrow x=\frac{2r}{t^2+1},\ t=\sqrt{\frac{2r-x}{x}}
\frac{dx}{dt}=-\frac{4rt}{(t^2+1)^2}
xt=\frac{2rt}{t^2+1}
\int \frac{dx}{\sqrt{(2r-x)x}}=\int -\frac{4rt}{(t^2+1)^2}\frac{t^2+1}{2rt}dt=-2\int \frac{1}{t^2+1}dt=-2 arctg (t)+C=-2 arctg \(\sqrt{\frac{2r-x}{x}}\)+C\)

[joanna1234]

a jak to rozwiązać żeby wyszlo \(arcsin(\frac{x}{r-1})\)? bo tak mam w odp

[octahedron]

\(\[arcsin\(\frac{x}{r-1}\)\]^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{r-1}\)^2}}\cdot\frac{1}{r-1}=\\
\frac{1}{\sqrt{\[1-\(\frac{x}{r-1}\)^2\]\(r-1\)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\(r-1\)^2-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{r^2-2r+1-x^2}}\ne\frac{1}{\sqrt{(2r-x)x}}\)

po zróżniczkowaniu nie wychodzi funkcja podcałkowa, czyli \(arcsin\(\frac{x}{r-1}\)\) nie jest rozwiązaniem